CanvasGI: 2D-Transformationen

Kartesische Koordinaten

Es wird die so genannte geometrische Transformation betrachtet, bei der ein Objekt in einem festen Koordinatensystem bewegt wird.

Es werden folgende vier sehr einfache Transformationen beschrieben (Translation, Rotation um den Nullpunkt, Skalierung bezüglich des Nullpunktes, Spiegelung an den Koordinatenachsen), aus denen sich durch geeignete Verknüpfungen beliebige andere Transformationen zusammensetzen lassen:

• Bei einer Translation bewegen sich alle Punkte des Objekts auf kongruenten Bahnen. Die Koordinaten aller Punkte mögen die Veränderungen t_x und t_y erfahren, so daß die neue Lage eines Punktes durch

  

  beschrieben wird.
• Bei einer Rotation dreht sich das Objekt um einen bestimmten Winkel um eine vorzugebende Achse, beim ebenen Problem also um einen vorzugebenden Punkt. Mit einer kleinen Skizze macht man sich leicht klar, daß bei einer Rotation eines Punktes um den Nullpunkt um den (entgegen dem Uhrzeigersinn positiv gezählten) Winkel φ folgende Transformation gilt:

  

• Bei der Skalierung werden die Abmessungen des Objekts vergrößert (Skalierungsfaktoren größer als 1) bzw. verkleinert. Die Skalierung bezieht sich immer auf einen zu definierenden Punkt, der dann selbst seine Lage nicht verändert, während alle anderen Punkte ihren Abstand vom Bezugspunkt vergrößern oder verkleinern. Bei der Skalierung bezüglich des Nullpunktes mit den Skalierungsfaktoren s_x und s_y (jeweils in Richtung der Koordinatenachsen) berechnet sich die Lage des neuen Punktes nach

  

• Bei einer Spiegelung eines Objektes an der y-Achse ändern alle x-Koordinaten der Punkte ihr Vorzeichen:

  

  Dementsprechend gilt für die Spiegelung eines Objektes an der x-Achse:

  

Da sich die Translation als einzige Transformation in kartesischen Koordinaten nicht durch eine Transformationsmatrix beschreiben läßt, kann hier erstmals mit Vorteil von den homogenen Koordinaten Gebrauch gemacht werden. Die kartesischen Koordinaten werden um λ = 1 ergänzt, und alle Transformationen lassen sich einheitlich durch Transformationsmatrizen beschreiben. Während für die Translation das Aufschreiben der Beziehung als Multiplikation "Matrix * Vektor" überhaupt erst möglich wird, werden die Transformationsmatrizen für die Rotation, die Skalierung und die Spiegelung um eine einfache Zeile bzw. Spalte ergänzt ("gerändert"). Diese Formeln werden nachfolgend zusammengestellt.

Ebene geometrische Transformation mit homogenen Koordinaten

Die nachfolgend angegebenen Formeln sind im CanvasGI für die ebenen Transformationen realisiert:

Verknüpfung von Transformationen

Aus den oben angegebenen Elementartransformationen können beliebige Transformationen durch das Ausführen von mehreren Transformationen nacheinander realisiert werden. Dabei ist zu beachten, dass eine Transformation immer durch Linksmultiplikation mit der entsprechenden Transformationsmatrix realisiert wird, so dass schließlich ein Produkt mehrerer Transformationsmatrizen die Gesamt-Transformation beschreibt, bei der die Matrix der letzten Transformation links steht.

Dies soll an einem einfachen Beispiel gezeigt werden: Es ist die geometrische Transformationsmatrix zu bestimmen, mit der die Rotation eines Punktes (x,y) um einen Winkel φ (im Uhrzeigersinn) um den beliebigen Drehpunkt (x_M,y_M) erzeugt wird. Da in den Elementartransformationen nur der Fall "Rotation um den Nullpunkt" vorgesehen ist, wird folgendermaßen vorgegangen:

Zunächst wird der der Punkt (x_M,y_M) in den Nullpunkt verschoben ("Translation 1" mit t_x = −x_M und t_y = −y_M), danach kann die Rotation um den Nullpunkt ausgeführt werden, schließlich muss die Verschiebung rückgängig gemacht werden ("Translation 2" mit t_x = x_M und t_y = y_M ). Folgende Matrizen sind also zu multiplizieren:

Das CanvasGI enthält stets eine Transformationsmatrix für die ebene Transformation und eine Transformationsmatrix für die 3D-Transformation. Beide Matrizen werden als Einheitsmatrizen initialisiert, so dass zunächst keine Unterschiede bei der Verwendung der zeichnenden Funktionen, die die Transformation auswerten, und den "gewöhnlichen" Zeichenfunktionen bestehen. Erst dann, wenn mit den entsprechenden Funktionen eine Transformation geändert wurde, macht sich dies (nur) bei den speziellen Zeichenfunktionen bemerkbar. Die Namen der Zeichenfunktionen, die die ebene Transformation auswerten, beginnen alle mit ut bzw. utdraw.

Weiterlesen

Folgende Seiten werden als Einführung in die Thematik "Transformationen" empfohlen:

• Empfehlung zum Weiterlesen:" Anwendung ebener Transformationen: Konstruktion eines Malteserkreuzes",
• "Transformationen, homogene Koordinaten".