Beschreibung der Funktionen

Definition des Begriffs "Funktion"

Analog zur Definition des Funktionsbegriffs für eine unabhängige Variable wird für zwei unabhängige Variable definiert:

Definition: Eine Funktion wird durch eine Vorschrift definiert, die jedem Wertepaar (x;y) (unabhängige Variable) aus einer Menge D (Definitionsbereich) genau ein Element z (abhängige Variable) aus einer Menge W (Wertebereich) zuordnet, symbolisch dargestellt als z = f(x,y).

Diese Definition lässt sich sinngemäß auf beliebig viele unabhängige Variable erweitern. Die Probleme dafür werden aufwendiger, aber nicht wesentlich schwieriger. Die grafische Darstellung der Funktionen ist aber nur für zwei unabhängige Variable als "Fläche im Raum" anschaulich möglich.

Beschreibung der Funktionen

Für die Beschreibung von Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen sind grundsätzlich alle Varianten möglich, die hier für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen gelistet werden (an die Stelle der Polarkoordinaten treten gegebenenfalls "Zylinderkoordinaten" oder "Kugelkoordinaten", sonst muss alles nur um eine Dimension erweitert werden). Hier werden die beiden wichtigsten Darstellungsformen beschrieben:

Die analytische Darstellung in der Form z = f(x,y) kann anschaulich so gedeutet werden, dass den Punkten in der x-y-Ebene (eindeutig) jeweils ein Wert z als "Höhenkoordinate" zugeordnet wird, so dass die Tripel (x;y;z) im Allgemeinen eine Fläche im Raum beschreiben.

Beispiel: Nebenstehend sieht man die Darstellung der Funktion

als 3D-Fläche in Parallelprojektion für den Bereich  −2 ≤ x ≤ 2  und  −2 ≤ y ≤ 2.

Deutlich flexibler ist die Parameterdarstellung, bei der die drei Koordinaten x, y und z in Abhängigkeit von zwei Parametern u und v beschrieben werden:

Nebenstehend sieht man als einfaches Beispiel eine so genannte Helix, die folgendermaßen beschrieben wird:

Die Helix ist dargestellt für den Parameterbereich  −1 ≤ u ≤ 3  und  0 ≤ v ≤ 8π. Der Parameterbereich für u steuert die Breite der Wendel, der Parameterbereich für v legt die Anzahl der "Umdrehungen" fest (hier: 4·2π), und aufwärts geht es dadurch, dass die z-Koordinate mit v wächst, wobei der Faktor vor dem v die Steilheit der Steigung bestimmt.

Dass mit der Parameterdarstellung auch wesentlich kompliziertere Funktionen beschrieben werden können, zeigt die nebenstehende Darstellung einer so genannten Rotoide. Diese und weitere Funktionen mit der zugehörigen Beschreibung und der Möglichkeit der Änderung der Parameter erreicht man über das Menüangebot oben rechts.