Interpolations- und Ausgleichsfunktionen

Für die Beschreibung von Kurven und Flächen ist ein arithmetischer Ausdruck, mit dem die Koordinaten aller Punkte (im interessierenden Bereich) bestimmt werden, eher die Ausnahme als die Regel. Stellvertretend für viele Probleme der Kurven- und Flächenapproximation sollen die beiden in der technischen Praxis wohl häufigsten Fälle dieser Art stehen:

Gegeben ist also eine Menge diskreter Punkte ("Stützstellen"), die auf sinnvolle Art durch stetige Funktionen approximiert werden sollen. Interpolation und Ausgleichsrechnung sind die mathematischen Hilfsmittel für solche Probleme.

  • Während bei der klassischen Interpolation eine Funktion gesucht ist, die durch sämtliche Stützstellen verläuft, ist das Ziel der Ausgleichsrechnung eine möglichst "glatte" Funktion, die nur einige (oder keinen) der vorgegebenen Punkte berührt und in einem exakt zu definierenden Sinne "optimal" ist.
  • Eine gewisse Sonderstellung nehmen die so genannten Spline-Approximationen ein. Während mit "natürlichen Splines" eine Interpolation im oben genannten Sinne (alle Stützstellen werden getroffen) realisiert wird, liefern die "Bézier-Approximationen" stetige Funktionen, die sich den Stützstellen nur annähern.

Der Unterschied zwischen Interpolationsfunktion und Ausgleichsfunktion wird nebenstehend am einfachen Beispiel verdeutlicht. Links sieht man vier Messpunkte mit folgenden Koordinaten:

x 2 6 13 17
y 1 4   8 12

Durch 4 Punkte wird eindeutig eine Polynomfunktion 3. Grades

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

definiert. Rechts sieht man diese als blau gezeichnete Kurve. Die Lage der Punkte kann jedoch vermuten lassen, dass es durch Messfehler verfälschte Werte sind, die eigentlich auf einer Geraden liegen müssten. Eine solche Gerade kann nach den Regeln der Ausgleichsrechnung bestimmt werden, rechts sieht man sie als rot gezeichnete Kurve. Der Unterschied wird deutlich: Die Interpolationskurve verläuft exakt durch alle Punkte, die Ausgleichsgerade trifft keinen der Punkte genau, aber alle "recht gut".

Unter "TM-interaktiv" findet man das Programm "Ausgleichspolynom", das genau solche Probleme löst. Nach Eingabe der Punktkoordinaten und Wahl des gewünschten Grades des Ausgleichspolynoms wird dieses grafisch und als analytischer Ausdruck ausgegeben. Für das oben gezeigte Beispiel gibt das Programm neben der Grafik die beiden analytischen Ausdrücke aus, die links bzw. rechts zu sehen sind.

In allen Fällen sind Polynomfunktionen für die Approximation besonders beliebt, weil diese sich auf bequeme Art weiterverarbeiten lassen. Wenn allerdings für einen gemessenen Sachverhalt der theoretische Zusammenhang bekannt ist (z. B.: Abkühlung verläuft nach einer Exponentialfunktion), sollte der "passende" Funktionstyp bevorzugt werden.

Interpolation durch Polynome

Bei n+1 vorgegebenen Funktionswerten

yi(xi)   ,   i = 0, 1, 2, ... , n

kann stets eindeutig ein Polynom n-ten Grades der Form

y(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

bestimmt werden, das alle vorgegebenen Punkte berührt (z. B. kann durch zwei Punkte eindeutig eine Gerade, durch 3 Punkte eine quadratische Parabel gelegt werden usw.). Diese Variante ist bei einer größeren Anzahl von Stützstellen nicht empfehlenswert, weil der Zwang, alle Punkte exakt treffen zu müssen, fast immer zu weit nach oben und unten ausschwingenden Kurven führt. Auf dieses Problem wird auch deshalb hier nicht weiter eingegangen, weil es als Sonderfall der "Ausgleichung durch Polynome" anfällt und zum Beispiel mit dem Programm "Ausgleichspolynom" bequem erledigt werden kann.

Im Gegensatz dazu führt die Interpolation durch mehrere Polynome mit jeweils nur stückweise geltendem Definitionsbereich im Allgemeinen zu genau den Ergebnissen, die man von Interpolationsfunktionen erwartet. Den so genannten Spline-Interpolationen sind deshalb mehrere spezielle Seiten gewidmet.