Grundlagen der Ausgleichsrechnung

"Fehlerquadrat-Methode"

Für eine zu bestimmende Funktion eines vorgegebenen Typs (Gerade, Parabel, Exponentialfunktion, ...) seien mehr Wertepaare (Punkte) vorgegeben, als für die eindeutige Bestimmung der Funktion erforderlich sind (Beispiel: Es sind 5 Punkte gegeben, die eine Gerade bestimmen sollen). Dann muss (bei Forderung nach einer eindeutigen Lösung) ein "Maß" definiert werden, mit dem von allen möglichen Funktionen des vorgegebenen Typs die "beste Funktion" identifiziert werden kann.

In den technischen und naturwissenschaftlichen Fachgebieten (aber auch in der mathematischen Statistik) wird für das beschriebene Problem vornehmlich die Gaußsche Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme verwendet (große Ausnahme: Beschreibung beliebiger Kurven und Flächen in CAD-Systemen und bei der NC-Programmierung, siehe Seite "Bézier-Approximation"), nach der das oben genannte "Maß" wie folgt definiert wird:

Gegeben sind n Wertepaare (x1,y1), (x2,y2), ... , (xn,yn), die eine Funktion  y = f(x)  definieren (n ist größer als die Anzahl der unbestimmten Parameter in f). Die Abweichungen der Funktionswerte f(xi) von den vorgegebenen Werten yi werden als "Fehler"

bezeichnet, und es wird gefordert, daß die "Summe der Fehlerquadrate" minimal wird:

Beispiel

Es sollen  n > 3  Messpunkte (x1,y1), (x2,y2), ... , (xn,yn) durch eine quadratische Parabel

ausgeglichen werden.

Notwendige Bedingung für die Erfüllung der Minimalforderung

ist das Verschwinden der drei partiellen Ableitungen von S nach den zu bestimmenden Freiwerten a0, a1 und a2:

Dies ist ein lineares Gleichungssystem, die sogenannten Normalgleichungen zur Bestimmung von a0, a1 und a2:

Nach der Lösung dieses Gleichungssystems ist die gesuchte quadratische Parabel bekannt.

Ausgleich mit einer Polynomfunktion

Das am Beispiel der Ausgleichung durch eine quadratische Parabel demonstrierte Vorgehen läßt sich verallgemeinern.

Ausgleichung von n Messpunkten durch ein Polynom m-ten Grades:

Wenn n Messpunkte (x1,y1), (x2,y2), ... , (xn,yn) gegeben sind, die durch ein Polynom m-ten Grades

ausgeglichen werden sollen (m ≤ n − 1), erhält man die Koeffizienten ai als Lösung des folgenden Gleichungssystems:

Die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems ist symmetrisch und positiv definit. Es kann also z. B. mit dem Cholesky-Verfahren gelöst werden. Unter TM-interaktiv steht dafür das Programm "Cholesky-Verfahren" zur Verfügung.

Mit dem Spezialfall  m = n − 1  (Polynom m-ten Grades durch  m + 1  Stützstellen) ist das Interpolationsproblem als Sonderfall im Ausgleichsproblem enthalten.

Hier findet man ein komplett durchgerechnetes Beispiel: Berechnung der Flugbahn einer Kugel aus Messpunkten.