Numerische Berechnung von Extremwerten

Lokalisieren

Betrachtet wird das Problem, einen Wert x zu finden, für den die Funktion y = f(x) einen relativen Extremwert im Sinne der hier gegebenen Definition hat. Dafür muss zunächst mindestens ein Wert x0 "in der Nähe des gesuchten Extremwerts" bekannt sein. Viel besser ist es, wenn ein Bereich x0 ≤ x ≤ x1 angegeben werden kann, in dem ein Extremwert liegt. Strategien für dieses so genannte "Lokalisieren" sind zum Beispiel:

Numerische Verbesserung durch sukzessive Intervallhalbierung

Die nachfolgend beschriebene Strategie geht davon aus, dass das Scannen des interessierenden Bereichs mit einem Vorzeichenwechsel von Δ yi+1 gegenüber Δ yi die Existenz eines Extremwerts signalisiert hat. Dann werden zwei zusätzliche Funktionswerte an den Stellen

berechnet und nach dem Vorzeichenwechsel der Differenzen der Funktionswerte in diesem "5-Punkte-Bereich" gefahndet. Damit wird der Bereich, in dem sich der Extremwert befindet, halbiert, und diese Strategie wird bis zum Erreichen der gewünschten Genauigkeit wiederholt.

Ein iteratives Verfahren endet, wenn die vorzugebende Genauigkeit des Ergebnisses erreicht ist. Zwei Kriterien bieten sich an, bei deren Erfüllung der in einem Schritt erreichte Wert xi als Ort eines Extremwertes im Sinne der hier gegebenen Definition akzeptiert wird. Man beachte, dass bei der Computer-Rechnung praktisch nie eine exakte Null erzeugt wird. Empfehlenswert sind deshalb folgende

Abbruchkriterien:

Im Allgemeinen sollte man dem zweiten Kriterium den Vorzug geben, weil damit für das gesuchte Ergebnis die gewünschte Genauigkeit gefordert wird.

TM-interaktiv Das Programm "Funktionen analysieren", das man unter "TM-interaktiv" findet (kein Download einer Software erforderlich, Lösungen direkt im Browser erzeugen), realisiert neben der grafischen Darstellung von Funktionen u. a. auch die Extremwertberechnung nach den hier gegebenen Empfehlungen: Ein Bereich wird mit einer vorzugebenen Schrittweite gescannt, bei Vorzeichenwechsel der Änderung der Funktionswerte wird ein Extremwert vermutet und mit Hilfe der sukzessiven Intervallhalbierung berechnet.

Hier findet man ein Beispiel zur numerischen Berechnung von Extremwerten.