Numerische Berechnung von Nullstellen

Lokalisieren

Betrachtet wird das Problem, einen reellen Wert x zu finden, für den die Gleichung f(x) = 0 erfüllt ist. Dafür muss zunächst mindestens ein Wert x0 "in der Nähe der gesuchten Nullstelle" bekannt sein. Viel besser ist es, wenn ein Bereich x0 ≤ x ≤ x1 angegeben werden kann, in dem eine Nullstelle liegt. Strategien für dieses so genannte "Lokalisieren" sind zum Beispiel:

Numerische Berechnung

Die Strategien gleichen sich in folgender Eigenschaft: Aus einer oder mehreren Anfangsnäherungen wird eine möglichst bessere Näherung der Nullstelle berechnet. Diese ersetzt dann eine der Anfangsnäherungen, und der Prozess wird wiederholt, bis sich die Näherungswerte zweier Schritte nur noch um weniger als einen vorgegebenen tolerierten Fehler unterscheiden.

Konvergenz

Die beiden folgenden Aussagen haben zwar nur "qualitativen" Charakter, sind aber ausreichend, weil die numerische Nullstellen-Berechnung wohl immer dem Computer übertragen wird:

Verfahrensauswahl, Abbruchkriterien

Fazit: Aus "strategischen Gründen" ist die "Sukzessive Intervallhalbierung" für die numerische Berechnung einer Nullstelle mit dem Computer das günstigste Verfahren.

Ein iteratives Verfahren endet, wenn die vorzugebende Genauigkeit des Ergebnisses erreicht ist. Zwei Kriterien bieten sich an, bei deren Erfüllung der in einem Schritt erreichte Wert xi+1 als Nullstelle in dem Sinne akzeptiert wird, dass y = f(xi+1) = 0 zufriedenstellend erfüllt ist. Man beachte, dass bei der Computer-Rechnung praktisch nie eine exakte Null erzeugt wird. Empfehlenswert sind folgende

Abbruchkriterien:

Im Allgemeinen sollte man dem zweiten Kriterium den Vorzug geben, weil damit für das gesuchte Ergebnis die gewünschte Genauigkeit gefordert wird.

TM-interaktiv Das Programm "Funktionen analysieren", das man unter "TM-interaktiv" findet (kein Download einer Software erforderlich, Lösungen direkt im Browser erzeugen), realisiert neben der grafischen Darstellung von Funktionen u. a. auch die Nullstellenberechnung nach den hier gegebenen Empfehlungen: Ein Bereich wird mit einer vorzugebenen Schrittweite gescannt, bei Vorzeichenwechsel der Funktionswerte wird eine Nullstelle vermutet und mit Hilfe der sukzessiven Intervallhalbierung berechnet.

Mehrfache Nullstellen, Polstellen

Die nebenstehende Grafik der Funktion

y = x tan x

verdeutlicht zwei Probleme, die bei der numerischen Berechnung von Nullstellen auftauchen können:

Die Strategien, die die genannten Probleme vermeiden, werden auf der Seite "Mehrfach-Nullstellen und Polstellen" beschrieben. Die Berechnung der Nullstellen für die Funktion y = x tan x findet man als Beispiel 1 des Programms "Funktionen analysieren" unter TM-interaktiv.