Berechnung einer Sektorfläche (Polarkoordinaten)

Integralformel

Für eine mit Polarkoordinaten definierte Funktion r = r(φ) kann eine von der Funktion und den beiden Radien bei φ1 bzw. φ2 begrenzte Sektorfläche (nebenstehende Skizze) nach

berechnet werden.

Beispiel

Beispiel: Es ist die Fläche zu berechnen, die von einem "Blatt" der Kurve

r = 2 cos 3φ

umschlossen wird.

Nebenstehend sieht man die grafische Darstellung der Kurve für den Bereich  0 ≤ φ ≤ π (für größere Werte von φ würden sich die Funktionswerte für r wiederholen). Die obere Begrenzungskurve des gelb gezeichneten Blattes wird also von den Funktionswerten für 0 ≤ φ ≤ π/6  erzeugt. Wenn diese Grenzen für die Sektorformel verwendet werden, erhält man die halbe Fläche eines Blattes. Die Gesamtfläche des gelb eingefärbten Blattes errechnet sich also so:

Analog zur entsprechenden Aussage auf der Seite "Fläche unter einer Kurve" gilt auch hier: Das bestimmte Integral zur Berechnung der Sektorfläche ist in vielen Fällen nur mit erheblichem Aufwand und in den meisten praktischen Fällen gar nicht in geschlossener Form lösbar. Dann sollte man auf die vielfältigen (und bequemen) Möglichkeiten der numerischen Integration zurückgreifen. Hilfreich ist zum Beispiel das Programm "Funktionen analysieren", das man unter "TM-interaktiv" findet.