Polarkoordinaten → Parameterdarstellung
Polarkoordinaten, kartesische Koordinaten, Parameterdarstellung
Für einen Punkt, der mit Polarkoordinaten r
und φ definiert ist, kann der Zusammenhang
mit seinen Koordinaten in einem kartesischen Koordinatensystem
aus der nebenstehenden Skizze abgelesen werden (Voraussetzung ist,
dass der Winkel φ von der x-Achse
linksdrehend positiv gemessen wird):
x = r cos φ ; y = r sin φ .
Damit ist die Strategie, eine in Polarkoordinaten gegebene
Funktion in eine Parameterdarstellung umzuschreiben, vorgegeben:
Der Winkel φ ist die unabhängige
Variable, und die Parameterdarstellung entspricht den
oben angegebenen Formeln.
Erzeugen einer Parameterdarstellung einer Funktion,
die in Polarkoordinaten gegeben ist:
Beispiel
Ein Gleitstein
A bewegt sich auf einer vertikalen Führung.
Er nimmt dabei die Stange
A−B mit, die
durch eine drehbar gelagerte Hülse gleitet. Gesucht ist die
Bahnkurve des Punktes B einschließlich
grafischer Darstellung. Es soll der Bereich dargestellt werden,
bei dem für den Winkel φ gilt:
−π/3 ≤ φ ≤ π/3.
Gegeben: a = 20 ; b = 30 .
Es bietet sich natürlich an, die Bahnkurve von B
in Polarkoordinaten aufzuschreiben. Man kann den Zusammenhang
von r und
φ direkt aus der
Skizze ablesen:
Für die grafische Darstellung wird das Programm
"Funktionen analysieren"
(zu finden unter
TM-interaktiv)
genutzt, das zwar die Darstellung von Funktionen, die in Polarkoordinaten
definiert sind, nicht unmittelbar vorsieht, aber mit der oben
angegebenen Umrechnung in eine Parameterdarstellung gelingt
dies problemlos:
- Nach dem Start des Programms wird zunächst die "Unabhängige Variable"
(Voreinstellung: x) zu phi geändert.
- Danach werden im gelben Eingabefeld (links oben) die beiden
gegebenen Parameter definiert: a = 20 | Klick auf Button "Konstante", danach
b = 30 | Klick auf Button "Konstante".
- Nun kann im gelben Eingabefeld die Funktion
definiert werden: r = b − a/cos(phi). Eine
Funktionsdefinition wird mit der Enter-Taste oder mit Klick auf den Button
"Funktion" abgeschlossen.
- Danach werden die beiden Umrechnungsformeln ebenfalls als
Funktionen definiert:
x = r*cos(phi) | Klick auf Button "Funktion", danach
y = r*sin(phi) | Klick auf Button "Funktion".
Alle Funktionen werden im Mittelteil des Bildschirms protokolliert.
- Die in der Aufgabenstellung vorgegebenen Grenzen für die
Darstellung der Funktion werden durch
die Grenzen für die unabhängige Variable
phiAnf = −pi/3 bzw. phiEnd = pi/3 festgelegt.
- Weil die Parameterdarstellung x(phi);y(phi) dargestellt werden soll,
muss als "Abszisse für Grafik" x gewählt werden, und weil die
Funktion r(phi) nicht auch gezeichnet werden soll, wird das
"Häkchen" vor diese Funktion entfernt.
- Empfehlenswert ist außerdem, die Einstellung unten links
von "anisotrop" auf "isotrop" zu ändern, weil bei Bahnkurven
natürlich x und y gleiche (Längen-)Dimension haben.
- Im Auswahlfeld "Aktionen mit Funktionen"
wird "Grafische Darstellung" gewählt. Der Bildschirm sollte
danach so aussehen: