Polarkoordinaten → Parameterdarstellung

Polarkoordinaten, kartesische Koordinaten, Parameterdarstellung

Für einen Punkt, der mit Polarkoordinaten r und φ definiert ist, kann der Zusammenhang mit seinen Koordinaten in einem kartesischen Koordinatensystem aus der nebenstehenden Skizze abgelesen werden (Voraussetzung ist, dass der Winkel φ von der x-Achse linksdrehend positiv gemessen wird):

x = r cos φ     ;     y = r sin φ  .

Damit ist die Strategie, eine in Polarkoordinaten gegebene Funktion in eine Parameterdarstellung umzuschreiben, vorgegeben: Der Winkel φ ist die unabhängige Variable, und die Parameterdarstellung entspricht den oben angegebenen Formeln.

Erzeugen einer Parameterdarstellung einer Funktion, die in Polarkoordinaten gegeben ist:

Beispiel

Ein Gleitstein A bewegt sich auf einer vertikalen Führung. Er nimmt dabei die Stange AB mit, die durch eine drehbar gelagerte Hülse gleitet. Gesucht ist die Bahnkurve des Punktes B einschließlich grafischer Darstellung. Es soll der Bereich dargestellt werden, bei dem für den Winkel φ gilt: −π/3 ≤ φ ≤ π/3.

Gegeben:  a = 20 ;  b = 30 .

Es bietet sich natürlich an, die Bahnkurve von B in Polarkoordinaten aufzuschreiben. Man kann den Zusammenhang von r und φ direkt aus der Skizze ablesen:

Für die grafische Darstellung wird das Programm "Funktionen analysieren" (zu finden unter TM-interaktiv) genutzt, das zwar die Darstellung von Funktionen, die in Polarkoordinaten definiert sind, nicht unmittelbar vorsieht, aber mit der oben angegebenen Umrechnung in eine Parameterdarstellung gelingt dies problemlos: