Kartesische Koordinaten ↔ Parameterdarstellung

Darstellung in kartesischen Koordinaten in Parameterdarstellung umwandeln

Die Umwandlung einer Funktion, die in kartesischen Koordinaten in der Form y = f(x) vorgegeben ist, in eine Parameterdarstellung ist immer möglich, besonders einfach und nicht eindeutig, weil die Wahl des Parameters weitgehend beliebig ist. Die einfachste Variante ist, t = x zu wählen, um zu folgender Parameterdarstellung zu kommen:

y = f(x)     ⇒     x = t  ;  y = f(t) .

Beispiel: Die Parabel

y = 2 x2

wird zur Parameterdarstellung

x = t  ;  y = 2 t2

oder aber zu

x = t + 3  ;  y = 2 (t + 3)2 ,

und es sind natürlich beliebig viele andere Varianten möglich.

Parameterdarstellung in kartesische Koordinaten umwandeln

Die Umwandlung einer Funktion, die in Parameterdarstellung in der Form x = x(t), y = y(t) vorgegeben ist, in eine Funktion mit der Darstellung y = f(x) gelingt nur in Ausnahmefällen. Die Strategie besteht darin, aus den zwei Funktionen der Parameterdarstellung durch Elimination der unabhängigen Variablen t zu einer Funktion y = f(x) zu kommen, z. B. durch Auflösen einer der beiden Gleichungen nach t und Einsetzen in die andere. Die dabei auftretenden Probleme werden an zwei Beispielen demonstriert.

Schiefer Wurf

Beispiel 1: Für die Bahnkurve eines Massenpunktes, der seine Bewegung in der Höhe h mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 unter dem Winkel α beginnt ("Schiefer Wurf", siehe nebenstehende Skizze), erhält man bei Vernachlässigung des Luftwiderstands unmittelbar nach dem 2. Newtonschen Axiom (Kapitel "Kinetik des Massenpunktes" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik") folgende Parameterdarstellung (Parameter t ist die Zeit, Zeitzählung beginnt mit dem Abwurf):

Die erste Gleichung kann nach t umgestellt werden. Dies wird in die zweite Gleichung eingesetzt, und man erhält die Bahnkurve in der Darstellung y = f(x):

Man erkennt, dass es eine quadratische Parabel ist ("Wurfparabel"). Man beachte aber, dass in dieser Darstellung eine Information verloren gegangen ist: Die Darstellung y = f(x) beschreibt nur die Bahnkurve, mit der Parameterdarstellung wird die Bewegung beschrieben (und damit auch die Bahnkurve).

Beispiel 2: Der Steg eines Planetengetriebes dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ωS und treibt ein Planetenrad, das auf dem feststehenden Sonnenrad abrollt.

Gegeben: R , r , a , ωS .

Die Bewegung des Punktes A im Abstand a vom Mittelpunkt des Planetenrades soll analysiert werden (links sieht man ein Beispiel mit speziellen Abmessungen und a > r).

Aus der Bedingung, dass die auf den beiden Rädern abgewälzten Bögen gleich sein müssen (sind in der Skizze zur Aufgabenstellung rot gezeichnet) erhält man die Parameterdarstellung der Bahnkurve (t ist die Zeit, Zeitzählung beginnt in der Lage, die die Skizze rechts zeigt):

Die Frage, ob es bei dieser Parameterdarstellung überhaupt gelingt, eine Darstellung der Bahnkurve als Funktion y = f(x) zu erreichen, ist irrelevant, denn es kann auf keinen Fall eine eindeutige Zuordnung der y-Werte zu den x-Werten geben. Eine Umwandlung ist auch deshalb nicht sinnvoll, weil in der Parameterdarstellung jedem t-Wert eindeutig ein x- und ein y-Wert zugeordnet werden kann (es ist sogar klar, in welcher "Runde" das Planetenrad gerade ist) und mit der Parameterdarstellung nicht nur die Bahnkurve, sondern auch die Bewegung beschrieben wird.

Fazit: Die Umwandlung einer Funktion, die in der Form y = f(x) mit kartesischen Koordinaten beschrieben wird, in Parameterdarstellung oder umgekehrt ist nur in wenigen Ausnahmefällen sinnvoll: