Bogenlänge einer in Polarkoordinaten definierten Kurve

Aus der Formel für die Bogenlänge einer in kartesischen Koordinaten definierten Funktion kann mit den Zusammenhängen zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten unter Beachtung der Differenziationsregeln die Formel für Polarkoordinaten entwickelt werden. Für eine Kurve, die mit einer Funktion  r = r(φ)  definiert ist, kann die Länge des Bogens zwischen den beiden Punkten bei φ1 und φ2 (in der nebenstehenden Skizze die rot gezeichnete Strecke) nach

berechnet werden.

Analog zur entsprechenden Aussage auf der Seite "Fläche unter einer Kurve" gilt auch hier: Das bestimmte Integral zur Berechnung der Bogenlänge ist in vielen Fällen nur mit erheblichem Aufwand und in den meisten praktischen Fällen gar nicht in geschlossener Form lösbar. Dann sollte man auf die vielfältigen (und bequemen) Möglichkeiten der numerischen Integration zurückgreifen. Hilfreich ist zum Beispiel das Programm "Funktionen analysieren", das man unter "TM-interaktiv" findet.
Auf gesonderten Seiten wird die Berechnung der Bogenlänge für Funktionen, die mit kartesischen Koordinaten beschrieben werden, bzw. für Funktionen, die in Parameterdarstellung gegeben sind, behandelt.

Beispiel

Durch die Funktion

wird eine so genannte logarithmische Spirale beschrieben. Die nebenstehende Skizze zeigt die Kurve für  r0 = 1  und  a = 0,1  im Bereich  0 ≤ φ ≤ 6π.

Mit der ersten Ableitung der Funktion nach φ entsprechend

errechnet sich die Bogenlänge zu