Parameterdarstellung für kartesische Koordinaten

Als Alternative zur Beschreibung eines Punktes mit kartesischen Koordinaten in der Form y = f(x) können x und y einzeln in Abhängigkeit von einer unabhängigen Variablen t definiert werden:

x = x(t)   ;   y = y(t)   .

Diese Variante eignet sich besonders für die Beschreibung von Bewegungsabläufen. Der Parameter t ist dabei als Zeit zu interpretieren. Im Gegensatz zur Darstellung in der Form y = f(x), mit der nur die Bahnkurve beschrieben werden kann, beschreibt die Parameterdarstellung den (zeitabhängigen) Bewegungsablauf.

Rollendes Rad

Beispiel 1 (Zykloide)

Ein Rad mit dem Radius R rollt (ohne zu gleiten) mit der konstanten Geschwindigkeit v0 auf der Horizontalen. Für einen Punkt A im Abstand a vom Radmittelpunkt soll die Bewegung beschrieben werden.

Das Koordinatensystem wird (wie skizziert) so gelegt, dass sich das Rad zur Zeit  t = 0  bei  x = 0  befindet und der Punkt A senkrecht unter dem Radmittelpunkt liegt.

Nach einer Zeit t (gestrichelt gezeichnet) hat das Rad den Weg v0 t zurückgelegt und die gleiche Strecke auf dem Umfang abgewälzt (fett gezeichnet), so dass der Punkt A unter dem eingezeichneten Winkel ("Bogen/Radius") zu finden ist. Für seine Lage zum Zeitpunkt t liest man aus der Skizze folgende Parameterdarstellung der Bewegung (bzw. der Bahnkurve) ab:

Zykloide

Die Auswertung dieser Darstellung der Bewegung in Form von Animationen findet man auf der Seite "Zykloiden". Nebenstehend sieht man eine Zykloide mit speziellen Abmessungen für R und a.

Beispiel 2 ("Epizykloide")

Wenn ein Planetenrad (angetrieben von einem Steg, der mit ωS rotiert) auf einem feststehenden Sonnenrad abrollt, dann bewegen sich die Punkte des Planetenrades auf so genannten Epizykloiden. Das nebenstehend dargestellte System wird auf der Seite "Punkt auf Planetenrad" ausführlich behandelt (man findet dort Bahnkurven und Animationen für verschiedene Abmessungsverhältnisse).

Für die speziellen Parameter  ωS = 1, R = 5, r = 1 und a = 4  (der zu verfolgende Punkt A liegt außerhalb des Planetenrades) lautet die Parameterdarstellung der Bahnkurve:

Nebenstehend sieht man die grafische Darstellung dieser Kurve in einem kartesischen Koordinatensystem.

Man beachte die Vorteile der Parameterdarstellung:
  • Es werden der Bewegungsablauf ("Wo befindet sich der Punkt zu einem bestimmten Zeitpunkt t?") und die Bahnkurve beschrieben.
  • Die für Funktionen geforderte Eindeutigkeit der Zuordnung der Funktionswerte (hier: x und y) zum Wert der unabhängigen Variablen (hier: t) könnte mit kartesischen Koordinaten nicht erreicht werden (zu jedem x-Wert gibt es mehrere y-Werte). In der Parameterdarstellung ist nicht nur diese Zuordnung eindeutig, die Bahnkurve kann auch beliebig oft durchlaufen werden, und die Parameterdarstellung enthält sogar die Information, in welcher "Runde" sich der Punkt gerade befindet.

Beispiel 3 ("Konchoide")

Ein Gleitstein A bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit vA auf einer vertikalen Führung. Er nimmt dabei die Stange A-B mit, die durch eine drehbar gelagerte Hülse gleitet. Bei  t = 0   nimmt die Stange eine horizontale Lage ein. Es soll die Bahnkurve des Punktes B ermittelt werden.

Bezüglich des skizzierten Koordinatensystems wird die Lage des Punktes B durch die Koordinaten xB und yB beschrieben. Mit dem Weg  vA t, den der Gleitstein A bis zum Zeitpunkt t zurückgelegt hat, und den gegebenen geometrischen Größen liest man aus nebenstehender Skizze z. B. ab:

(Strahlensatz). Eine entsprechende Beziehung (ebenfalls nach dem Strahlensatz) findet sich für yB, und damit ist die Parameterdarstellung der Bahnkurve bekannt:

Diese Aufgabe wird mit einer anderen Strategie (Verwendung von Polarkoordinaten) auf der Seite "Polarkoordinaten" gelöst. Dort findet man auch eine grafische Darstellung der Bahnkurve des Punktes B.

Beispiel 4 ("Schwingende Kurbelschleife")

Eine Kurbel dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω0 und nimmt die Stange A-B mit. Bei t = 0 befindet sich A im Punkt D. Es soll die Bahnkurve des Punktes B ermittelt werden.

Unter Verwendung eines Koordinatensystems mit Ursprung im Punkt C erhält man mit einigen elementar-geometrischen Überlegungen die Parameterdarstellung der Bewegung des Punktes B:

Die Auswertung dieser Darstellung der Bewegung in Form von Animationen und einige weitere interessante Untersuchungen des Bewegungsverlaufs findet man auf der Seite "Schwingende Kurbelschleife".