Definition des Begriffs "Funktion"

Funktionen dienen dazu, den Zusammenhang von ein oder mehreren Größen (unabhängige Variable) mit einer anderen Größe (abhängige Variable) zu beschreiben. Hier werden zunächst Funktionen behandelt, die nur von einer unabhängigen Variablen abhängig sind (hier findet man eine Einführung in die Darstellung von Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen).

Definition: Eine Funktion wird durch eine Vorschrift definiert, die jedem Element x (unabhängige Variable) aus einer Menge D (Definitionsbereich) genau ein Element y (abhängige Variable) aus einer Menge W (Wertebereich) zuordnet, symbolisch dargestellt als y = f(x).

Eine besonders wichtige Rolle beim Arbeiten mit Funktionen spielt ihre Visualisierung als grafische Darstellung ("Graph" einer Funktion, Bemerkung zur Schreibweise). Deshalb wird in der folgenden Übersicht immer auch diese Variante gezeigt.

Es ist tatsächlich nach der Rechtschreibreform so: Der Duden schreibt alle "Grafen" (Fotograf, Grafiker, grafische Darstellung, ...) mit f (oder empfiehlt zumindest diese Schreibweise). Nur für den Funktionsgraphen, der zwar auch mit f geschrieben werden darf, gilt die Empfehlung, ihn mit ph zu schreiben.

Beschreibung von Funktionen

      Beispiel Graph für das Beispiel
Analytische
Darstellung
y = f(x) "Klassische" Darstellung einer Funktion mittels Funktionsgleichung mit der Vorstellung, dass die x-y-Wertepaare in einem kartesischen Koordinatensystem den Funktionsgraphen erzeugen.

Parabel

Darstellung mit Polarkoordinaten r = r(φ)

Dies ist auch eine analytische Darstellung mit der Interpretation für φ als Winkel und r als Abstand von einem festen Punkt.

Kardioide

Parameter-
darstellung (kartesische Koordinaten)
x = x(t)
y = y(t)
Mit einer unabhängigen Variablen (hier: t) werden mehrere Funktionen (hier: 2) mit analytischen Darstellungen beschrieben, die als kartesische Koordinaten interpretiert werden. Typische Anwendung: Beschreibung von Bewegungen.

Epizykloide

Parameter-
darstellung (Polarkoordinaten)
r = r(t)
φ = φ(t)
Mit einer unabhängigen Variablen (hier: t) werden mehrere Funktionen (hier: 2) mit analytischen Darstellungen beschrieben, die als Polarkoordinaten interpretiert werden. Typische Anwendung: Beschreibung von Bewegungen.

Konchoide

Analytische
Darstellung,
bereichsweise
y1 = f1(x1)
(x11x1x12),

y2 = f2(x2)
(x21x2x22),

...
Die Funktionen können mit analytischen Ausdrücken definiert werden, die aber auf bestimmte Bereiche der unabhängigen Variablen beschränkt sind, weil z. B. in einem Bereich eine lineare Abhängigkeit vorliegt und die Definition in einem anderen Bereich eine Funktion höheren Grades (oder auch trigonometrische Funktionen) enthält. Typische Beispiele sind Biegelinien, Biegemoment- und Querkraftverläufe.

Biegemoment, im linken Abschnitt linear, rechts Funktion 3. Grades
Wertetabelle Eine Wertetabelle enthält für diskrete Punkte zu den Werten der unabhängigen Variablen jeweils die Werte der zugehörigen abhängigen Variablen. Dies kann sich auf die Darstellungen y = f(x), r = r(φ) oder die Parameterdarstellung x = x(t) ; y = y(t) beziehen.
"Kugelstoßen"
Funktionensatz y1 = f1(x)
y2 = f2(x,y1)
...
y = f(x,y1,...)
Die Funktion steht am Ende eines Satzes mehrerer Funktionen. Jede Funktion darf die unabhängige Variable und alle vorab definierten Funktionen enthalten.
System mit
"weicher Feder"
Komplizierter Zusammenhang, nur für einzelne Punkte zu beschreiben yi = f(xi) Der Zusammenhang yi = f(xi) wird durch einen komplizierten und/oder sehr aufwendigen Algorithmus (z. B. eine nichtlineare Differenzialgleichung, eine sehr große Determinante) oder ein Experiment beschrieben.
Stabpendel mit großen Ausschlägen
Stabpendel mit großen Ausschlägen
Schwingungsdauer abhängig von Stablänge

Typische Aufgaben und Fragestellungen

Die Wahl der geeigneten Darstellungsart ist problemabhängig. Deshalb ist z. B. die Umwandlung einer Darstellungsart in eine andere eine typische Aufgabe (siehe z. B.: Kartesische Koordinaten ↔ Parameterdarstellung, Polarkoordinaten → Parameterdarstellung). Besonders wichtig ist die grafische Darstellung, die besonders hilfreich auch bei der Beantwortung folgender Problemstellungen ist:



TM-interaktiv Hilfreich bei der Lösung dieser Probleme ist das Programm "Funktionen analysieren", das man unter "TM-interaktiv" findet (kein Download einer Software erforderlich, Lösungen direkt im Browser erzeugen).