Absolute und relative Extremwerte

Die Extremwerte einer Funktion y = f(x) beziehen sich immer auf einen bestimmten Bereich der unabhängigen Variablen x. Dies kann durchaus auch der gesamte Definitionsbereich sein. Als Maximum wird der größte und als Minimum der kleinste aller Funktionswerte y in diesem Bereich bezeichnet.

Von besonderer praktischer Bedeutung sind die "relativen Extremwerte". Für sie gilt folgende ...

Definition: Wenn der Funktionswert ye an der Stelle xe größer (kleiner) ist als die Funktionswerte in der Umgebung von xe, dann ist ye ein relatives Maximum (Minimum).

Differenzierbare Funktionen

Bei differenzierbaren Funktionen y = f(x) hat der Funktionsgraph an Punkten mit relativen Extremwerten eine horizontale Tangente. Notwendige Bedingung für einen Extremwert an der Stelle xe ist also das Verschwinden der ersten Ableitung der Funktion:

f ' (xe) = 0 .

Die nebenstehende Skizze zeigt am Beispiel, dass dies nur eine notwendige Bedingung ist, denn es gibt Punkte mit horizontaler Tangente (so genannte "Sattelpunkte"), für die das oben formulierte Kriterium eines relativen Extremwerts nicht erfüllt ist.

Der Unterschied zwischen Extremwerten und Sattelpunkten kann an der Krümmung der Kurve festgemacht werden (die Krümmung ist proportional zur zweiten Ableitung). Während rechts und links von einem Extremwert die Funktionswerte kleiner (relatives Maximum) bzw. größer (relatives Minimum) als der Extremwert sind (an dieser Stelle also eine Rechts- oder Linkskrümmung der Kurve vorliegt), sind die Funktionswerte links von einem Sattelpunkt kleiner und dann rechts vom Sattelpunkt größer als der Extremwert oder umgekehrt. Die Kurve geht dort von Rechts- in Linkskrümmung (oder umgekehrt über), die zweite Ableitung ist an dieser Stelle gleich Null.

Für das skizzierte Beispiel verifiziert man leicht, dass an der Stelle des Sattelpunktes  y ' (1) = 0  und   y '' (1) = 0  gilt. Die am Beispiel verdeutlichten Erkenntnisse sind folgendermaßen verallgemeinerungsfähig.

Hinreichende Bedingung für relative Extremwerte: Eine Funktion y = f(x) hat an der Stelle xe einen relativen Extremwert, wenn

f ' (xe) = 0     und      f '' (xe) ≠ 0

gilt. Für  f '' (xe) < 0  ist es ein relatives Maximum, für  f '' (xe) > 0  ein relatives Minimum.

Berechnung von Extremwerten

Generell gilt die Empfehlung, die Berechnung von Extremwerten immer mit einer grafischen Darstellung der zu untersuchenden Funktion zu koppeln. Dann ist auch die Frage "Minimum, Maximum oder Sattelpunkt?" vorab zu beantworten. Es bleiben zwei Probleme:

Für das oben skizzierte Beispiel

ist das Bilden der ersten Ableitung kein Problem:

Aber die Lösung dieser Gleichung 5. Grades ist nur numerisch möglich. Dafür steht zwar zum Beispiel das Programm "Funktionen analysieren" (zu finden unter "TM-interaktiv") zur Verfügung, aber dieses Programm bietet auch die numerische Berechnung von Extremwerten an, und dann sollte wohl gleich diese Offerte mit der Ausgangsgleichung genutzt werden.

Für folgende Probleme sind spezielle Seiten verfügbar: