Polarkoordinaten

Als Alternative zur Beschreibung eines Punktes durch die beiden Koordinaten x und y in einem kartesischen Koordinatensystem kann es für zahlreiche Probleme sinnvoll sein, so genannte Polarkoordinaten zu verwenden. In Polarkoordinaten wird die Lage eines Punktes beschrieben durch eine Koordinate r, gemessen von einem festen Bezugspunkt O, und eine Winkelkoordinate φ bezüglich einer festen Bezugsgeraden: r = r(φ). Die Winkelkoordinate φ wird positiv entgegen dem Uhrzeigersinn gezählt.

Hinweis: In zahlreichen Mathematikbüchern (zum Beispiel: "L. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Vieweg-Verlag") werden die Polarkoordinaten mit der Einschränkung definiert, dass r ≥ 0 sein muss. Dies macht allerdings für Ingenieurprobleme keinen Sinn und ist auch nicht erforderlich. Wem es nicht gefällt, dass Punkte auch mit negativem r definiert werden können, kann sich hilfsweise vorstellen, dass für diese Punkte  r* = |r|  und  φ* = φ + π  gilt. Das Beispiel 2 unten zeigt, dass negative Werte für r durchaus sinnvoll sind.

Für einen Punkt, der mit Polarkoordinaten r und φ definiert ist, kann der Zusammenhang mit seinen Koordinaten in einem kartesischen Koordinatensystem aus der nebenstehenden Skizze abgelesen werden (Voraussetzung ist, dass der Winkel φ von der x-Achse linksdrehend positiv gemessen wird):

x = r cos φ     ;     y = r sin φ  .

Kardioide

Beispiel 1

Die in Polarkoordinaten definierte Funktion

r = a (1 − cos φ)

ist eine so genannte Kardioide. Nebenstehend sieht man ihre grafische Darstellung für  a = 3. Sie wurde mit dem Programm "Funktionen analysieren" (zu finden unter TM-interaktiv) erzeugt (die ausführliche Beschreibung, wie dies realisiert wird, findet man im Hilfesystem des Programms man auf der Seite "Funktionen in Polarkoordinaten").

Beispiel 2

Ein Gleitstein A bewegt sich auf einer vertikalen Führung. Er nimmt dabei die Stange AB mit, die durch eine drehbar gelagerte Hülse gleitet. Gesucht ist die Bahnkurve des Punktes B einschließlich grafischer Darstellung. Es soll der Bereich dargestellt werden, bei dem für den Winkel φ gilt: −π/3 ≤ φ ≤ π/3.

Gegeben:  a = 20 ;  b = 30 .

Man kann den Zusammenhang von r und φ direkt aus der Skizze ablesen:

Es ist leicht zu erkennen, dass sich für  cos φ < a/b   negative Werte für r ergeben. Anschaulich ist dies so zu deuten, dass dann, wenn sich der Gleitstein A sehr weit nach unten (oder nach oben) bewegt, der Punkt B nach links durch die drehbare Hülse rutscht.

Nebenstehend sieht man die grafische Darstellung der Bahnkurve in einem kartesischen Koordinatensystem. Sie wurde mit dem Programm "Funktionen analysieren" (zu finden unter TM-interaktiv) erzeugt (die ausführliche Beschreibung, wie dies realisiert wird, findet man auf der Seite "Polarkoordinaten → Parameterdarstellung"). Alle Punkte links von der y-Achse gehören zu negativen r-Werten.