Spline-Interpolation und -Approximation

Natürliche Splines, Ausgleichsrechnung, Bézier-Splines

Mit der Spline-Interpolation mit "natürlichen Splines" gelingt es, mit abschnittsweise gültigen Funktionen eine geordnete Punktmenge so durch eine Kurve zu verbinden, dass zwischen den Stützstellen ein weites Ausschwingen (wie bei der Polynom-Interpolation) vermieden wird.

Die Ausgleichsrechnung lässt ohne den Zwang, die Stützstellen tatsächlich treffen zu müssen, besonders glatte Kurven entstehen, wenn der Grad des Ausgleichspolynoms nicht zu groß gewählt wird, was dann jedoch unter Umständen mit einer schlechteren Anpassung an die Stützstellen bezahlt werden muss.

Für die Darstellung beliebiger Funktionen, die durch eine Punktmenge definiert werden, hat sich in CAD-Systemen (auch in der NC-Programmierung) eine auf den französischen Ingenieur Pierre Bézier zurückgehende Idee durchgesetzt, der für die Karosseriekonstruktion bei der Firma Renault am Anfang der 70er Jahre des vorigen Jahrhunderts spezielle Spline-Kurven verwendete, die im Gegensatz zur Interpolation mit natürlichen Splines die Stützstellen nur annähern (deshalb werden für die Punkte oft auch die Ausdrücke "Kontroll"-, "Leit"- oder "Steuer"-Punkte verwendet, hier wird weiter von Stützstellen gesprochen).

Die Bézier-Splines haben mit den Ausgleichspolynomen die gemeinsame Eigenschaft, nicht alle Stützpunkte zu treffen, allerdings liegen der erste und der letzte Punkt immer auf der Spline-Kurve. Wie bei allen Spline-Kurven ist die Reihenfolge der Stützpunkte (im Gegensatz zur Ausgleichsfunktion) wichtig. Die Bézier-Splines verwenden so genannte "Basispolynome", deren Eigenschaften für die Approximation entscheidend sind. Die nebenstehende Abbildung zeigt die beiden beliebtesten Varianten: Bézier-Bernstein-Approximation (grüne Kurve) und Bézier-B-Spline-Approximation (rote Kurve). Bis auf die Randpunkte, die immer zu den Bézier-Kurven gehören, üben alle übrigen Stützpunkte nur eine "Anziehungskraft" auf den Kurvenverlauf aus.

Das unter TM-interaktiv verfügbare Programm "Splines" gestattet die bequeme Berechnung von Splines aller oben genannten Typen.