Numerische Berechnung von Extremwerten,
Beispiel: "Stabilität von Gleichgewichtslagen"

Aufgabe

Zwei Stäbe mit den Längen l1 und l2, deren Eigengewicht zu vernachlässigen ist, sind wie skizziert gelagert und durch die Gewichtskräfte der Massen mB und mC belastet.

Es soll der Winkel α ermittelt werden, für den das System im Gleichgewicht ist. Dabei soll zwischen stabiler und instabiler Gleichgewichtslage unterschieden werden.

Im Kapitel "Prinzipien der Mechanik" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird gezeigt, dass das System nur für die Stellungen im Gleichgewicht sein kann, für die die potenzielle Energie

einen Extremwert annimmt, und nur bei einem Minimum der potenziellen Energie ist die Gleichgewichtslage stabil (die Formel für die potenzielle Energie bezieht sich auf die nebenstehend gestrichelt gezeichnete Lage mit der potenziellen Energie Null).

Weil die Funktion U(α) problemlos nach α abgeleitet werden kann, bietet sich eigentlich die hier empfohlene Strategie für differenzierbare Funktionen an: Bilden der 1. Ableitung nach α und Berechnung der Nullstellen. Dieser Weg führt auf eine Gleichung, die sinnvollerweise nur numerisch gelöst werden kann (es ist genau die Gleichung, die hier als Beispiel für die numerische Berechnung von Nullstellen behandelt wird). Wenn ohnehin numerisch gerechnet werden muss, ist es natürlich sinnvoll, die Extremwerte direkt numerisch zu berechnen.

Es genügt die Untersuchung der Funktion, die durch den Inhalt der geschweiften Klammer definiert wird. Die Extremwerte dieser Funktion U(α) werden nachfolgend mit dem Programm "Funktionen analysieren" (zu finden unter "TM-interaktiv") berechnet.

Lösung mit dem Programm "Funktionen analysieren"

Nach dem Start des Programms werden zunächst die gegebenen Werte als Konstanten definiert. Es werden "sprechende Bezeichnungen" für die Konstanten gewählt, z. B. mBdmC für "mB durch mC". Konstanten werden über das (gelbe) Eingabefeld (links oben) definiert, z. B. so: mBdmC = 0.5; (wenn die Konstantendefinition mit einem Semikolon endet, kann man sie mit der Enter-Taste abschließen, immer aber mit Klick auf den Button "Konstante", Achtung: Dezimalpunkt anstelle des Kommas!).

Vor der Funktionsdefinition wird die "Unabhängige Variable" auf alpha umgestellt (im mittleren blauen Feld), dann kann Uq (steht für "U-quer") z. B. so in das Eingabefeld geschrieben werden:

Uq=sin(alpha)-mBdmC*[1+sqrt(l2dl1^2-hdl1^2)-(cos(alpha)+sqrt(l2dl1^2-(hdl1+sin(alpha))^2))]

Funktionsdefinitionen (ohne das Semikolon am Ende) können mit der Enter-Taste oder mit Klick auf den Button "Funktion" eingegeben werden (im Bildschirm-Schnappschuss unten sieht man die Funktion noch im Eingabefeld).

Wenn man für die Interpretation der Winkelfunktionen (links oben) "Grad" einstellt, ist es sinnvoll, den zu untersuchenden Bereich mit alphaAnf=0 und alphaEnd=360 einzustellen. Vorsichtshalber sollte unbedingt auch die grafische Darstellung der Funktion Uq angefordert werden. Wenn man im Auswahlfeld "Aktionen mit Funktionen:" das Angebot "Grafik, spezielle Punkte" anklickt, erhält man neben den Extremwerten auch die Nullstellen, die in diesem Fall eigentlich nicht interessieren. Danach sollte der Bildschirm so aussehen:

Es ergeben sich zwei Gleichgewichtslagen mit wichtigen Zusatzinformationen: Das relative Maximum bei α = 46,35° weist diese Gleichgewichtslage als instabil aus, während das relative Minimum bei α = 242,92° auf eine stabile Gleichgewichtslage hinweist.

Unter "Stabilität von Gleichgewichtslagen, Lösung mit Maple" findet man die Lösung dieser Aufgabe mit dem Mathematik-Programm Maple, die natürlich auf die gleichen Ergebnisse führt.