Rang einer Matrix
Definition: Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen- bzw. Spaltenvektoren. Bei einer Rechteckmatrix mit m Zeilen und n Spalten kann der Rang nicht größer sein als der kleinere der beiden Werte m und n.
Durch Linearkombination von Zeilen oder Spalten einer Matrix (Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einem Faktor und Addition oder Subtraktion zu einer anderen Zeile/Spalte) ändert sich der Rang der Matrix nicht. Der Rang einer Rechteckmatrix kann deshalb z. B. mit dem Gauß-Algorithmus ermittelt werden: Wenn die Rechnung in einer Zeile stoppt, weil in den nachfolgenden Zeilen nur noch Nullen stehen, entspricht die Nummer der "Stoppzeile" dem Rang der Matrix.
Beispiel: In einer Matrix A mit 3 Zeilen und 4 Spalten werden folgende Linearkombinationen ausgeführt:
Die Rechnung stoppt in der 2. Zeile, der Rang der Matrix A ist r(A) = 2.
Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems
Ein lineares Gleichungssystem
mit einer beliebigen rechteckigen Koeffizientenmatrix (m Gleichungen mit n Unbekannten) entsprechend
ist lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix r(A) gleich dem Rang der um den Vektor der rechten Seite b erweiterten Matrix (zusätzliche Spalte) r(A,b) ist. Ist dieser Rang gleich der Anzahl der Unbekannten n, ist die Lösung eindeutig. Ist der Rang kleiner als die Anzahl der Unbekannten, dann können n − r(A) Unbekannte frei gewählt werden.
Für den besonders wichtigen Spezialfall der quadratischen Koeffizientenmatrix (n Gleichungen mit n Unbekannten) folgt aus dieser Aussage:
Spezialfall "Homogenes Gleichungssystem": Ein lineares Gleichungssystem
(alle Elemente im Vektor der rechten Seite haben den Wert 0) wird homogenes Gleichungssystem genannt. Prinzipiell gelten alle oben gemachten Aussagen auch für homogene Gleichungssysteme. Weil für diesen wichtigen Sonderfall aber noch weitergehende Aussagen möglich sind, wird auf die dafür verfügbare Seite "Homogene Gleichungssysteme" verwiesen.
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Das Gleichungssystem
(*)
hat eine singuläre Koeffizientenmatrix (man überzeugt sich leicht, dass det(A) = 0 gilt). Für den Rang der um den Vektor b erweiterten Koeffizientenmatrix gilt: r(A,b) = 2 (genau diese Matrix wurde oben als Beispiel für die Ermittlung des Rangs verwendet). Da aus der Beispiel-Rechnung ersichtlich ist, dass auch r(A) = 2 ist, hat dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, weil der Wert für eine Unbekannte frei gewählt werden kann. Man erhält z. B. nach einigen elementaren Umformungen (entsprechend dem oben demonstrierten Beispiel nach dem Gauß-Algorithmus):
Hier wurde x3 als die beliebig festzulegende Unbekannte gewählt, rechts sieht man eine kleine Auswahl möglicher Lösungen.
Für das nur auf der rechten Seite leicht modifizierte Gleichungssystem
(**)
gilt dagegen: r(A) = 2 ≠ r(A,b) = 3. Deshalb hat dieses Gleichungssystem keine Lösung.
Man kann dies anschaulich so deuten:
Mit der Matlab-Function rref kann das gestaffelte System einer Matrix nach dem Verfahren von Gauß-Jordan (mit Pivotisierung) ermittelt werden. Dies ist aufwendiger und sicherer als die oben demonstrierte Handrechnung nach dem Gaußschen Algorithmus (ohne Pivotisierung). Der nebenstehend zu sehende Bildschirm-Schnappschuss zeigt das Command Window von Matlab, in dem für die oben untersuchten Matrizen (zusammengefasst zu einer Matrix mit 3 Zeilen und 5 Spalten) das gestaffelte System erzeugt wird.
Das Ergebnis bestätigt die oben durchgeführte Rechnung. Die Matrix A ist vom Rang 2, ebenso die um den Vektor b erweiterte Matrix des ersten untersuchten Gleichungssystems. Die um den Vektor b des zweiten Gleichungssystems erweiterte Matrix hat den Rang 3.