Die Testrechnungen
Es werden drei FEM-Gleichungssysteme aufgebaut und gelöst, die bei Berechnung mit der Methode der konjugierten Gradienten keine (das 3D-Fachwerk), leichte (das 2D-Rahmentragwerk) bzw. fast unüberwindliche Probleme (das 3D-Rahmentragwerk) machten (vgl. "Testrechnungen für iterative Verfahren (1)" und "Testrechnungen für iterative Verfahren (2)"). Der für die hier angestellten Betrachtungen uninteressante Algorithmus für den Aufbau des Gleichungssystems wird mit Matlab-Femset ausgeführt.
Dreidimensionales Fachwerk
Die nebenstehend zu sehende Brückenkonstruktion wurde mit dreidimensionalen Fachwerkstäben modelliert. Das FEM-Berechnungsmodell ist in der Datei Fof.dat gespeichert und wird im nachfolgenden Matlab-Script eingelesen. Mit Matlab-Femset wird das lineare Gleichungssystem erzeugt, mit dem die Knotenverschiebungen berechnet werden können. Bei 400 Stäben und 136 Knoten ergibt sich ein Gleichungssystem mit 408 Gleichungen. Das Matlab-Script PKGTest1.m (nachfolgend rechts) formt die Koeffizientenmatrix in eine "Sparse matrix" (Zeile 8) um, bevor das Gleichungssystem zunächst mit dem Matlab-Standard-Solver (Zeile 12) und danach mit der Function PKG.m gelöst wird (Zeile 14). Im Command Window findet man das Ergebnis:
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Die Rechnung konvergiert nach 314 Iterationsschritten. Dies ist immerhin eine Verbesserung gegenüber der Berechnung ohne Präkonditionierung (416 Iterationsschritte) um fast 25%.
Zweidimensionales Rahmentragwerk
Nebenstehend links ist der ebene biege- und dehnsteife Rahmen dargestellt (Beispiel aus dem Kapitel "Verifizieren vom Computerrechnungen"), dessen FEM-Modell in der Datei Rahm17.dat gespeichert ist.
Es ist ein sehr kleines Problem, das auf ein Gleichungssystem mit nur 33 Gleichungen führt (rechts das Belegungsmuster der Koeffizientenmatrix mit den von Null verschiedenen Elementen), das allerdings einigen Iterationsverfahren (siehe "Testrechnungen für iterative Verfahren (1)") erhebliche Probleme bereitete. Das nachfolgend rechts zu sehende Matlab-Script PKGTest2.m entspricht im Aufbau dem oben beschriebenen Script PKGTest1.m. Auch hier werden von den berechneten Lösungsvektoren jeweils nur einige Elemente ausgegeben. Im Command Window findet man das Ergebnis:
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Die Rechnung konvergiert nach 24 Iterationsschritten. Dies ist eine Verbesserung gegenüber der Berechnung ohne Präkonditionierung (62 Iterationsschritte) um 61%.
Dreidimensionales Tragwerk mit biege-, dehn- und torsionssteifen Elementen
Das nebenstehend zu sehende Finite-Elemente-Modell der Brücke über den Nord-Ostsee-Kanal bei Rendsburg besteht aus 1947 Elementen (biege-, dehn- und torsionssteife Träger mit je zwei Knoten), die an 747 Knoten untereinander verbunden sind. Dieses Modell führt auf ein (im Vergleich mit typischen FEM-Modellen eher kleines) Gleichungssystem mit 4482 Unbekannten.
Das FEM-Berechnungsmodell ist in der Datei Rendbrem.dat gespeichert und wird im nachfolgenden Matlab-Script PKGTest3.m eingelesen. Mit Matlab-Femset wird das lineare Gleichungssystem erzeugt, mit dem die Knotenverschiebungen berechnet werden können.
An diesem Beispiel sind nahezu alle getesteten iterativen Verfahren gescheitert (siehe "Testrechnungen für iterative Verfahren (2)". Mit dem präkonditionierten Konjugierte-Gradienten-Verfahren (Matlab-Function PKG.m) wird das Gleichungssystem problemlos gelöst (das nachstehend rechts zu sehende Matlab-Script PKGTest3.m entspricht im Aufbau exakt den beiden oben beschriebenen Scripts). Im Command Window sieht man das Ergebnis:
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Nach 915 Iterationsschritten wird Konvergenz gemeldet. Ohne Präkonditionierung waren erst nach 500000 Iterationschritten brauchbare Ergebnisse zu sehen.
Download
Die Matlab-Scripts auf dieser Seite und die von ihnen aufgerufenen Functions, DLLs und Dateien sind zum Download verfügbar:
- Die gezeigten Matlab-Scripts sind als PKGTest1.m, PKGTest2.m und PKGTest3.m, die Matlab-Function zur Lösung mit dem präkonditionierten Konjugierte-Gradienten-Verfahren als PKG.m verfügbar.
- Zusätzlich werden die DLLs finmod_m.dll und syswbc_m.dll und die Matlab-Function SymBand2Sparse.m benötigt. Die FEM-Modelle befinden sich in den Dateien Fof.dat (3D-Fachwerk), Rahm17.dat (2D-Rahmen) und Rendbrem.dat (3D-Tragwerk).
