Inverse Transformation
Einer quadratischen Matrix A mit n Zeilen bzw. Spalten ist eine Determinante zuzuordnen (Determinante mit den gleichen Elementen wie die Matrix). Wenn für den Zahlenwert der Determinante
gilt, nennt man die Matrix A regulär, anderenfalls singulär. Eine Matrix A ist genau dann singulär, wenn die Zeilen (Spalten) von A linear abhängig sind. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen (Spalten) wird als Rang r der Matrix bezeichnet. Die Differenz
heißt Defekt.
Zu der linearen Transformation im n-dimensionalen Vektorraum
gehört unter der Voraussetzung regulärer Matrix die eindeutige inverse Transformation
mit der zu A inversen Matrix A−1. Zwischen einer Matrix und ihrer Inversen muss die Beziehung
gelten (E ist die Einheitsmatrix). Die Berechnung der inversen Transformation bzw. der Inversen einer Matrix ist eine der wichtigsten Aufgaben der linearen Algebra.
Wichtig für die Behandlung verschiedener Probleme (insbesondere der Matrizeneigenwertprobleme) ist die Beantwortung der Frage, wie sich die Transformationsmatrix A in
ändert, wenn die Vektoren x und y auf eine neue Basis bezogen werden (im dreidimensionalen Raum also auf ein geändertes - z. B. gedrehtes - Koordinatensystem).
Die Verknüpfung von x und y mit den gleichen, aber auf eine andere Basis bezogenen Vektoren, sei durch die reguläre Transformationsmatrix C gegeben:
Damit kann die lineare Transformation wie folgt umgerechnet werden:
Zwei Matrizen, die mit einer Transformationsmatrix C in der Form
verknüpft sind, nennt man ähnliche Matrizen, die Transformation selbst heißt Ähnlichkeitstransformation.
Einige Eigenschaften einer Matrix sind gegenüber Ähnlichkeitstransformationen invariant, so z. B. die Symmetrieeigenschaft, der Wert der zur Matrix gehörenden Determinante und die Eigenwerte der Matrix.
Besondere Bedeutung haben Ähnlichkeitstransformationen mit Orthogonalmatrizen, so genannte Orthogonaltransformationen. Eine Orthogonalmatrix ist eine quadratische Matrix C, für die
gilt (E ist die Einheitsmatrix). Die Spalten von C (und ebenso die Zeilen) bilden also ein System orthonormierter Vektoren. Solche Matrizen sind immer regulär mit
und aus der Bedingung, dass das Produkt CTC die Einheitsmatrix ergibt, folgt:
Bei einer Orthogonaltransformation wird ein System linear unabhägiger Einheitsvektoren (eine "Basis") wieder in ein solches überführt. Im dreidimensionalen Raum entspricht dies einer reinen Drehung (bei det C = 1) bzw. einer Drehung und Spiegelung (bei det C = −1).
