Grenzwerte, Regel von de l'Hospital, Beispiel "Biegefeder"

Aufgabe

Im Kapitel "Formänderungsenergie" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird folgendes Problem behandelt:

Für die skizzierte Biegefeder mit einem Rechteckquerschnitt konstanter Höhe t bei linear veränderlicher Breite soll die Absenkung des Kraftangriffspunktes berechnet werden.

Nach (nicht ganz müheloser) Rechnung erhält man folgendes Ergebnis:

Die Lösung gilt für jedes sinnvolle Breitenverhältnis β. Typisch für solche Probleme mit veränderlichem Querschnitt ist jedoch, dass bei  β = 1  (Träger konstanter Breite) gerade für den einfachsten Spezialfall, mit dem man die Lösung gern kontrollieren würde, die Formel versagt. Es muss eine Grenzwertbetrachtung entsprechend

durchgeführt werden. Das Problem ist vom Typ "0/0" und kann mit der "de l'Hospitalschen Regel" behandelt werden, die in diesem Fall dreifach angewendet werden muss, bis der Grenzwert berechnet werden kann: