Aufgabe
Der skizzierte Biegeträger mit stückweise konstanter Biegesteifigkeit ist u. a. auf elastischen Federn gelagert. Das Gelenk am Punkt G kann keine Biegemomente übertragen. Die folgenden Zahlenwerte sollen verwendet werden:
a = 200 mm ; b = 700 mm ; c = 190 mm ;d = 240 mm ; e = 260 mm ; f = 280 mm ;
q1 = 3 N/mm ; F = 2 kN ; M = 200 Nm ;
c1 = 100 N/mm ; c2 = 50 N/mm ; EI1 = 6·109 Nmm2 ; EI2 = 12·109 Nmm2 ; EI3 = 109 Nmm2 .
Es sind die Verformungen (Vertikalverschiebung und Biegewinkel) für die markanten Punkte des Systems zu berechnen.
Femset-Berechnungsmodell
Das nebenstehende Bild zeigt die gewählte Knotennummerierung (rot) und die Elementnummerierung.
Als finites Element wird "Bend2D" (gerader Biegeträger) verwendet, das durch 3 Elementparameter beschrieben wird, jeweils in einer Zeile der Matrix der Element-Informationen: Biegesteifigkeit EI, Linienlastintensität am Elementknoten 1, Linienlastintensität am Elementknoten 2 (Elementknoten 1 ist der in der Koinzidenzmatrix als erster aufgeführte Knoten, für den Richtungssinn der Linienlast gilt: Wenn man von Elementknoten 1 nach Elementknoten 2 "wandert", zeigen die Pfeilspitzen positiver Linienlasten nach links).
Als globales Koordinatensystem werden nach rechts bzw. oben positiv gerichtete Achsen mit dem Ursprung im Knoten 1 gewählt (darauf beziehen sich die Knotenkoordinaten und die Richtungen der Knotenkräfte, positive äußere Momenten drehen entgegen dem Uhrzeigersinn).
Mit diesen Informationen können die 5 Standard-Matrizen des Berechnungsmodells aufgebaut werden, dieses Beispiel erfordert jedoch noch die Definition zweier weiterer Matrizen:
- Für die elastischen Lager (Federn) muss eine Matrix sc definiert werden. Weil das Element Bend2D Knoten mit zwei Freiheitsgraden besitzt, ist sc eine Matrix mit nk=8 Zeilen und 2 Spalten. In einer Zeile stehen die Steifigkeiten einer vertikal gerichteten Feder und einer Drehfeder (in diesem Beispiel nicht vertreten).
- Für die Realisierung eines Gelenks wird ein kleiner Trick verwendet: Am Gelenk
werden (siehe Skizze) zwei Knoten definiert, die jeweils dem links bzw. rechts angrenzenden
Element über die Koinzidenzmatrix zugeordnet werden. Die beiden Elemente haben
damit zunächst keine Verbindung. Diese wird nun nachträglich über eine nk*2-Matrix
"Gleichheit von Verschiebungen" li hergestellt, aber nur für die Vertikalverschiebung
und nicht für den Biegewinkel, der dadurch (wie für ein Gelenk typisch) links
und rechts unterschiedliche Werte annehmen kann.
Für eine Gruppe von Freiheitsgraden, die den gleichen Wert annehmen sollen, werden in li die gleichen positiven ganzen Zahlen eingetragen (es können auch mehr als 2 Freiheitsgrade sein), für eine gegebenenfalls andere Gruppe müsste eine andere ganze Zahl verwendet werden. Auf diese Weise können die vielfältigsten Verbindungselemente nachgebildet werden. Im aktuellen Fall werden nur die beiden Vertikalverschiebungen der Knoten 3 und 4 gleichgesetzt, dafür wird (willkürlich) eine 1 eingesetzt. Für alle anderen Freiheitsgrade des Systems wird in li eine 0 eingetragen.
Das Matlab-Script zeigt in den Zeilen 3 bis 14 den Aufbau der insgesamt 7 Matrizen, die das Berechnungsmodell beschreiben.
Berechnung der Verformungen mit der Interface-Routine femalg_f
Der Aufruf von femalg_f (Zeile 18) entspricht exakt der Syntax eines Matlab-Funktionsaufrufs. Es werden 7 Parameter übergeben und zwei Ergebnisse abgeliefert. femalg_m ist aber keine Matlab-Funktion, die als .m-Datei gespeichert ist, sondern ein "Mex-File" (Binär-Datei, die für die Matlab-32-Bit-Version als .dll-Datei gespeichert ist, für die Matlab-64-Bit-Version als .mexw64-Datei). Diese Mex-Files sind Bestandteil von Matlab-Femset und stehen zum Download zur Verfügung. femalg_m ist ein außerordentlich vielseitiges Tool, komplett dokumentiert auf der Seite "Femalg_m - Interface zum FEMSET-Solver für elastostatische Probleme".
Der Aufruf von femalg_f liefert die Ergebnisse im Command Window ab: Der Ergebnis-Parameter succ gibt mit dem Wert 1 an, dass die Rechnung erfolgreich war. Die Matrix uv enthält in jeder Zeile die beiden Verformungen eines Knotens (Vertikalverschiebung v und Biegewinkel φ). Man beachte, dass die Vertikalverschiebungen für die Koten 3 und 4 (Gelenk) gleich sind, die Biegewinkel jedoch unterschiedlich.
Das oben zu sehende Matlab-Script ist als BiegungFedernGelenk.m zum Download verfügbar. Die für die Berechnung erforderliche Interface-Routine (femalg_m.dll oder femalg_m.mexw64) findet man auf der Seite "Interface-Routinen zum FEM-Baukasten Femset aus Matlab".
