Elemente verschiedener Problemklassen

Ebene Fachwerke

Fachwerk-Element

Fachwerke bestehen aus Stäben, die untereinander über Knoten (theoretisch reibungsfreie Gelenke) verbunden sind. Nur über die Knoten werden Kräfte eingeleitet, so dass die Stäbe nur Druck- oder Zugkräfte ("Stabkräfte") aufnehmen.

Der einzelne Fachwerkstab verformt sich durch seine Stabkraft, die eine Dehnung (und dadurch Längenänderung) des Stabes hervorruft. Die Längenänderungen aller Stäbe, die dabei selbstverständlich ihre ursprünglich gerade Form beibehalten, führen zu Knotenverschiebungen, die am Knoten i durch zwei Komponenten u_ix und u_iy beschrieben werden (jeder Knoten hat 2 Freiheitsgrade).

An den Knoten, an denen in der Regel mehr als zwei Stäbe zusammenstoßen, wirken natürlich nicht nur Kräfte in Stablängsrichtung (wie in den Stäben). Deshalb wird als allgemeines (ebenes) Fachwerk-Element ein Stab definiert, der eine beliebige Lage in der Ebene einnimmt, zur x-Achse um den Winkel α gedreht ist und an jedem Knoten zwei Knotenkräfte U_ix und U_iy (i = 1 , 2) übertragen kann (nebenstehende Abbildung). Diese beiden Kraftkomponenten eines Knoten sind natürlich nicht unabhängig voneinander, weil ihre Resultierende U_i in die Stablängsrichtung fallen muss. Es gilt:

Von den beiden in gleicher Weise wie die Knotenkräfte definierten Knotenverschiebungen u_ix und u_iy (i = 1 , 2) sind jeweils nur die in Stablängsrichtung fallenden Komponenten für die Längenänderung des Stabes verantwortlich. Die Knotenverschiebung in Stablängsrichtung u_i wird aus der Abbildung abgelesen:

Der Zusammenhang zwischen der Verlängerung des Stabes in Stablängsrichtung  Δl_e = (u₂ − u₁)  und der Stabkraft U₂ ist für linear-elastisches Material durch das Hookesche Gesetz  σ_e = E_e ε_e = E_e Δl_e /l_e  gegeben. Mit σ_e = U₂/A_e kann daraus die folgende Beziehung für U₂ aufgeschrieben werden, in der das Produkt aus Elastizitätsmodul und Querschnittsfläche die so genannte "Dehnsteifigkeit" EA_e ist. Aus

wird durch Ersetzen der Verschiebungen u₁ und u₂ durch die Verschiebungskomponenten:

Multiplikation dieser Gleichung mit cos α liefert die Knotenkraftkomponente U_2x:

Entsprechend erhält man durch Multiplikation mit sin α die Knotenkraftkomponente U_2y. Da

(Gleichgewicht am Element) gelten muss, sind alle Beziehungen bekannt, die die vier Element-Knotenkräfte mit den vier Element-Knotenverschiebungen verknüpfen. Sie bilden die

Beispiel

Für das nebenstehend dargestellte Stabelement soll die Elementsteifigkeitsmatrix berechnet werden.

Im Finite-Elemente-Baukasten Femset ist das Stabelement im Elementkatalog enthalten. Außerdem gibt es eine Interface-Routine elemat_m, mit der die Berechnung aus dem Command Window von Matlab gestartet werden kann. Dieser Routine müssen drei Parameter übergeben werden:

• Anzahl der Freiheitsgrade der Elementknoten (hier: 2),
• Matrix mit den Koordinaten der Knoten,
• Vektor mit den Element-Parametern, hier nur ein Wert: Dehnsteifigkeit EA.

Aus diesen Angaben kann Femset den Typ des Elements bestimmen. Mit der nachfolgend zu sehenden Kommandozeile wird die Elementsteifigkeitsmatrix berechnet und in das Command Window ausgegeben.