Matlab-Femset

Aufgabe

Für den skizzierten biege- und dehnsteifen Rahmen mit konstantem Querschnitt berechne man die kleinsten Eigenkreisfrequenzen und die zugehörigen Eigenschwingungsformen.

EI = 3,5·10⁶ Nm² ; EA = 2,9·10⁹ N ; ρA = 100 kg/m ; a = 2 m .

Femset-Berechnungsmodell

Das nebenstehende Bild zeigt die gewählte Knotennummerierung und die Elementnummerierung.

Das Problem wird gelöst unter Verwendung des in FEMSET verfügbaren biege- und dehnsteifen Elements Bm2DKM (hier findet man die Herleitung der Elementsteigkeits- und Elementmassenmatrix). Es hat drei Knoten-Freiheitsgrade (2 Verschiebungen und Biegewinkel), die Lage eines Knotens wird durch zwei Koordinaten festgelegt. Weil die Elementlänge l_e aus den Knotenkoordinaten berechnet werden kann, sind nur drei Elementparameter (EI, EA und ρA) erforderlich.

Für die Aufgabenstellung wird das nachfolgend zu sehende MATLAB-Script verwendet, in dem zunächst das Berechnungsmodell aufgebaut wird (im Unterschied zu elastostatischen Berechnungen hier mit einer Matrix der Knotenmassen an Stelle der Matrix der Knotenlasten). Das globale Koordinatensystem wird in die linke untere Ecke des Rahmens (Knoten 1) gelegt. In der Matrix xy werden die 8 Koordinatenpaare der Knoten zusammengestellt. Die Koinzidenzmatrix km legt fest, welche beiden Knoten jeweils zu den 9 Elementen gehören. Für alle Elemente gelten die Elementparameter EI, EA und ρA entsprechend der Aufgabenstellung (Matrix ep). Am Knoten 1 und am Knoten 5 sind die drei Verformungen (beide Verschiebungen und der Biegewinkel) verhindert (Matrix kr).

Mit diesen Informationen können die 5 Standard-Matrizen des Berechnungsmodells aufgebaut werden, dieses Beispiel erfordert jedoch noch die Definition zweier weiterer Matrizen:

• Für die elastischen Lager (Federn) muss eine Matrix sc definiert werden. Weil das Element Bend2D Knoten mit zwei Freiheitsgraden besitzt, ist sc eine Matrix mit nk=8 Zeilen und 2 Spalten. In einer Zeile stehen die Steifigkeiten einer vertikal gerichteten Feder und einer Drehfeder (in diesem Beispiel nicht vertreten).

• Für die Realisierung eines Gelenks wird ein kleiner Trick verwendet: Am Gelenk werden (siehe Skizze) zwei Knoten definiert, die jeweils dem links bzw. rechts angrenzenden Element über die Koinzidenzmatrix zugeordnet werden. Die beiden Elemente haben damit zunächst keine Verbindung. Diese wird nun nachträglich über eine nk*2-Matrix "Gleichheit von Verschiebungen" li hergestellt, aber nur für die Vertikalverschiebung und nicht für den Biegewinkel, der dadurch (wie für ein Gelenk typisch) links und rechts unterschiedliche Werte annehmen kann.
  
  Für eine Gruppe von Freiheitsgraden, die den gleichen Wert annehmen sollen, werden in li die gleichen positiven ganzen Zahlen eingetragen (es können auch mehr als 2 Freiheitsgrade sein), für eine gegebenenfalls andere Gruppe müsste eine andere ganze Zahl verwendet werden. Auf diese Weise können die vielfältigsten Verbindungselemente nachgebildet werden. Im aktuellen Fall werden nur die beiden Vertikalverschiebungen der Knoten 3 und 4 gleichgesetzt, dafür wird (willkürlich) eine 1 eingesetzt. Für alle anderen Freiheitsgrade des Systems wird in li eine 0 eingetragen.

Das Matlab-Script zeigt in den Zeilen 3 bis 14 den Aufbau der insgesamt 7 Matrizen, die das Berechnungsmodell beschreiben.

Berechnung der Verformungen mit der Interface-Routine femalg_f

Der Aufruf von femalg_f (Zeile 18) entspricht exakt der Syntax eines Matlab-Funktionsaufrufs. Es werden 7 Parameter übergeben und zwei Ergebnisse abgeliefert. femalg_m ist aber keine Matlab-Funktion, die als .m-Datei gespeichert ist, sondern ein "Mex-File" (Binär-Datei, die für die Matlab-32-Bit-Version als .dll-Datei gespeichert ist, für die Matlab-64-Bit-Version als .mexw64-Datei). Diese Mex-Files sind Bestandteil von Matlab-Femset und stehen zum Download zur Verfügung. femalg_m ist ein außerordentlich vielseitiges Tool, komplett dokumentiert auf der Seite "Femalg_m - Interface zum FEMSET-Solver für elastostatische Probleme".

Der Aufruf von femalg_f liefert die Ergebnisse im Command Window ab: Der Ergebnis-Parameter succ gibt mit dem Wert 1 an, dass die Rechnung erfolgreich war. Die Matrix uv enthält in jeder Zeile die beiden Verformungen eines Knotens (Vertikalverschiebung v und Biegewinkel φ). Man beachte, dass die Vertikalverschiebungen für die Koten 3 und 4 (Gelenk) gleich sind, die Biegewinkel jedoch unterschiedlich.