Aufgabe
Die skizzierte rotationssymmetrisch belastet und gelagerte Kreisringplatte ist am Innenrand starr eingespannt und am Außenrand frei. Sie trägt die konstante Flächenlast p0. Zu berechnen sind die Durchbiegung w(r) und die Schnittgrößenverläufe mr(r) und qr(r).
Gegeben: ri = 1000 mm ; ra = 3000 mm ; t = 30 mm ; p0 = 0,004 N/mm2 ; E = 2,1·105 N/mm2 ; ν = 0,3 .
Lösung
Die Verformung wird durch die Eulersche Differenzialgleichung
Auswertung mit Matlab
Das nachfolgend gelistete Matlab-Script baut das lineare Gleichungssystem für die Berechnung der Integrationskonstanten auf, löst es und berechnet mit den Ergebnissen die Funktionen w(r), mr(r) und qr(r), die graphisch dargestellt werden:
clear all
ri = 1000 ; ra = 3000 ; t = 30 ; E = 2.1e5 ; ny = 0.3 ; p0 = 0.004 ;
K = E*t^3/(12*(1-ny^2)) ;
A = [ 1 log(ri/ra) ri^2 ri^2*log(ri/ra) ;
0 1/ri 2*ri ri*(2*log(ri/ra)+1) ;
0 -(1-ny)/ra^2 2*(1+ny) 3+ny ;
0 0 0 4/ra ] ;
b = - [ ri^4 ; 4*ri^3 ; 4*(3+ny)*ra^2 ; 32*ra ] * p0/(64*K) ;
x = A \ b ; % Loesung des Gleichungssystems
C1 = x(1) ; C2 = x(2) ; C3 = x(3) ; C4 = x(4) ;
r = ri:(ra-ri)/100:ra ;
w = p0*r.^4/(64*K) + C1 + C2*log(r/ra) + C3*r.^2 + C4*r.^2.*log(r/ra) ;
mr = -K*((3+ny)*p0*r.^2/(16*K) - C2*(1-ny)./r.^2 + C3*2*(1+ny) + C4*(3+ny+2*(1+ny)*log(r/ra))) ;
qr = -K*(p0*r/(2*K) + C4*4./r) ;
subplot (3,1,1) ; plot (r , w) , axis ij , grid on , title ('w(r)') , xlim([0 ra])
subplot (3,1,2) ; plot (r , mr) , grid on , title ('m_r(r)') , xlim([0 ra])
subplot (3,1,3) ; plot (r , qr) , grid on , title ('q_r(r)') , xlim([0 ra])
disp(['Maximale Durchbiegung: w_max = ', num2str(max(w))]) ;
disp(['Maximales Biegemoment: mr_max = ', num2str(max(abs(mr)))]) ;
disp(['Maximale Querkraft: qr_max = ', num2str(max(abs(qr)))]) ;
Nebenstehend sieht man die Verläufe der Funktionen w(r), mr(r) und qr(r), die vom Matlab-Script gezeichnet wurden. In das Command Window wurden die jeweiligen Maximalwerte geschrieben:
Verifizieren der Ergebnisse
Mit folgenden Überlegungen können die Ergebnisse bestätigt werden:
- Qualitativ: Die graphischen Darstellungen entsprechen den Erwartungen. Die Verformung zeigt die Nullverschiebung und die horizontale Tangente an der Einspannstelle, Biegemomentenverlauf und Querkraftverlauf enden beim Wert Null am freien Rand. Aber es sind auch quantitative Kontrollen möglich:
- Die Last p0 wirkt auf einer
Kreisringfläche, so dass ihre Resultierende berechnet werden kann.
Diese Kraft muss mit der Querkraft an der Einspannung,
die auf einem Kreis mit dem Radius
ri wirkt, im Gleichgewicht sein:
Das Gleichgewicht in vertikaler Richtung ist erfüllt.
- Die Absenkung am Außenrand kann mit der Absenkung am Rand
des eingespannten Biegeträgers mit konstanter Linienlast
verglichen werden (nebenstehende Skizze). Man kann sich den
Träger als schmalen Streifen vorstellen, der aus der
Platte herausgeschnitten wurde, z. B. mit der Breite
b = 1 mm und der Länge
l = ra −ri = 2000 mm. Dann hat die
konstante Linienlast die Intensität
q0 = p0·1 mm = 0,004 N/mm.
Der Querschnitt des Trägers ist ein Rechteck mit der Breite
b = 1 mm und der Höhe
t = 30 mm, das für die
Verformungsberechnung benötigte Flächenträgheitsmoment
berechnet sich nach
I = bt3/12 (siehe
Kapitel "Biegung"). Die Formel für die Absenkung des Trägerendes
findet man z. B. im Kapitel "Verformungen durch Biegemomente",
und man berechnet:
Das Ergebnis liegt sehr nah bei dem Wert, der für die Kreisringplatte ermittelt wurde, und auch die Tendenz stimmt: Weil sich bei der Kreisringplatte die Querdehnung nicht (wie beim Biegeträger) frei ausbilden kann, ist die Platte steifer als der Biegeträger (das ist auch der Grund dafür, dass es bei der Kreisringplatte noch ein zweites Biegemoment gibt, worauf auf der Seite "Rotationssymmetrische Kreis- und Kreisringplatten" hingewiesen wird).
- Die beste Bestätigung findet man allerdings durch eine Rechnung mit einem anderen Verfahren. Diese Aufgabe wird auf der Seite "Rotationssymmetrische Platten, Differenzenverfahren" als Beispiel für diese Variante der numerischen Lösung demonstriert. Die dort mit einer sehr feinen Diskretisierung gefundenen Näherungslösungen weichen von den hier berechneten "exakten Lösungen" nur marginal ab.
