Matrizeneigenwertprobleme

Spezielles und Allgemeines Matrizeneigenwertproblem

Zahlreiche Aufgaben der Technischen Mechanik (Eigenschwingungen, Stabilitätsprobleme, siehe z. B. die hier angegebenen Links) führen auf das Spezielle Matrizeneigenwertproblem

bzw. das Allgemeine Matrizeneigenwertproblem

mit quadratischen Matrizen A und B (E ist die Einheitsmatrix). Gesucht sind die Eigenwerte λ und die zugehörigen Eigenvektoren x, für die diese Beziehungen erfüllt sind. Obwohl zahlreiche Aussagen, die im Folgenden gemacht werden, auch (oder nur mit geringen Modifikationen) für Matrizen mit komplexen Elementen gelten, soll hier nur der für Ingenieurprobleme deutlich wichtigste Fall reeller Matrizen betrachtet werden (was nicht bedeutet, dass damit auch die Lösungen reell sein müssen).

Weil das Allgemeine Matrizeneigenwertproblem im Regelfall in ein Spezielles Matrizeneigenwertproblem überführt werden kann, können sich die Vorbetrachtungen auf das Spezielle Matrizeneigenwertproblem beschränken. Der für Probleme der Technischen Mechanik besonders wichtige Spezialfall symmetrischer Matrizen sollte gesondert betrachtet werden.

Ein Spezielles Matrizeneigenwertproblem stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar, das nur dann nichttriviale Lösungen haben kann, wenn die Determinate der charakteristischen Matrix (A - λ E) verschwindet:

lässt sich als algebraische Gleichung n-ten Grades (charakteristische Gleichung) schreiben und besitzt damit genau n (reelle und komplexe, eventuell auch mehrfache) Wurzeln λ₁ , λ₂ , ... , λ_n , die Eigenwerte des Problems. Für diese Werte existieren nichttriviale Eigenvektoren, die allerdings nur bis auf einen beliebigen Faktor bestimmbar sind. Dabei wird vorausgesetzt, dass der Defekt der charakteristischen Matrix jeweils gleich der Vielfachheit eines Eigenwertes ist. In diesem Fall gibt es genau n linear unabhängige Eigenvektoren.

Direkte Lösungsverfahren, Iterationsverfahren

Die zahlreichen Lösungsverfahren können in zwei Gruppen eingeteilt werden:

Die direkten Verfahren liefern nach einer endlichen Anzahl von Rechenschritten die charakteristische Gleichung. Da für große Matrizen bei eventuell noch zu bewältigendem Aufwand zur Aufstellung dieser algebraischen Gleichung die Lösung derselben wiederum außerordentliche numerische Schwierigkeiten bereitet, scheiden die direkten Verfahren für die Mehrzahl der praktischen Aufgabenstellungen aus (ein kleines Beispiel, das sich so noch lösen lässt, findet man hier). Tatsächlich darf formuliert werden, dass direkte Verfahren, die mit einer endlichen Anzahl von Operationen das (bis auf Rundungsfehler "exakte") Ergebnis liefern (wie für die Lösung linearer Gleichungssysteme), für Matrizeneigenwertprobleme nicht existieren. Dieser Weg wird deshalb hier auch nicht weiter betrachtet.
Die Iterationsverfahren (z. B.: Jacobi-Verfahren, QR-Algorithmus, von-Mises-Iteration, inverse Vektoriteration, inverse Iteration für das allgemeine Matrizeneigenwertproblem, inverse Simultaniteration, ...) liefern Näherungslösungen (in der Regel beliebiger Genauigkeit) für alle oder einige Eigenwerte am Rande des Spektrums (die größten bzw. die kleinsten) und die zugehörigen Eigenvektoren.