Addition und Subtraktion ...
... sind nur für Matrizen gleichen Typs (gleiche Zeilenanzahl, gleiche Spaltenanzahl) definiert:
Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar c ...
... wird ausgeführt, indem alle Elemente der Matrix mit dem Skalar multipliziert werden. Es gilt:
Sind zwei Vektoren x und y durch die lineare Beziehung x = A y miteinander verknüpft und ist y seinerseits mit dem Vektor z durch die lineare Beziehung y = B z verknüpft, so besteht auch zwischen x und z ein linearer Zusammenhang, für den symbolisch
geschrieben wird. Damit wird das
Matrizenprodukt
Beispiel für Matrixmultiplikation
definiert: Wenn die Multiplikation x = C z das gleiche Ergebnis liefern soll wie nacheinander y = B z und danach x = A y, dann muss
Beispiel für Matrixmultiplikation
gelten (das Element ci k ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B). Es ist offensichtlich, dass zur Ausführbarkeit der Multiplikation die Spaltenanzahl der Matrix A (in der Formel oben: n) mit der Zeilenanzahl der Matrix B übereinstimmen muss: Eine mn-Matrix A ist mit einer np-Matrix B in dieser Reihenfolge verkettbar. Dies bedeutet andererseits, dass im Allgemeinen
ist (das Matrixprodukt ist nicht kommutativ), wenn die Matrizen in der umgekehrten Reihenfolge überhaupt verkettbar sind.
Das Matrixprodukt ist assoziativ und distributiv. Es gilt:
Transponierte und symmetrische Matrizen, Diagonalmatrix, Einheitsmatrix
Durch Vertauschen von Zeilen und Spalten einer Matrix A geht diese in ihre so genannte transponierte Matrix AT über:
(A ist eine mn-Matrix, B dementsprechend eine nm-Matrix). Offenbar gilt:
Bei quadratischen Matrizen (quadratische Matrizen haben gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl) entspricht das Transponieren einer Spiegelung an der Hauptdiagonalen (die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix enthält die Elemente mit gleichen Indizes ai i, sie verläuft also von links oben nach rechts unten).
Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn sie gleich ihrer Transponierten ist. Für
symmetrische Matrizen
Eine symmetrische Matrix ist symmetrisch zur (hier gelb gekennzeichneten)
Hauptdiagonalen. Das bedeutet auch, dass die Elemente einer
Zeile gleich sind mit den Elementen der
entsprechenden Spalte (hier für die 4. Zeile bzw. Spalte farblich gekennzeichnet).
gilt also:
Viele Symmetrieeigenschaften physikalischer Probleme übertragen sich auf die entsprechenden Matrizen. Symmetrische Matrizen haben eine Reihe bemerkenswerter (vorteilhafter) Eigenschaften, die bei numerischen Berechnungen unbedingt genutzt werden sollten.
Eine Matrix, die nur auf der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Elemente besitzt, heißt Diagonalmatrix D. Eine Diagonalmatrix mit durchweg gleichen Diagonalelementen di i = c heißt Skalarmatrix, weil sie sich bei der Multiplikation mit einer anderen Matrix wie ein skalarer Faktor verhält. Eine Diagonalmatrix, die ausschließlich Eins-Elemente auf der Hauptdiagonalen hat, ist eine Einheitsmatrix E, die sich bei Multiplikation mit einer anderen Matrix analog zur skalaren Eins verhält:
