Transponieren, Invertieren, Determinanten
Als Ergänzung zu den einfachen Rechenregeln werden nachfolgend weitere Regeln ohne Herleitung und Beweis nur aufgelistet:
- Transponieren eines Produkts:
- Inversion eines Produkts:
- Inversion der Transponierten:
- Determinante eines Produkts:
Eine Matrix wird nach einer Variablen abgeleitet, indem jedes Element abgeleitet wird:
Eine Matrix wird integriert, indem jedes Element integriert wird:
Die (partielle) Ableitung eines Ausdrucks nach einem Vektor wird definiert als Vektor, der die partiellen Ableitungen dieses Ausdrucks nach den Komponenten des Vektors enthält:
Man verifiziert leicht, dass nach dieser Vorschrift für ein Skalarprodukt bzw. eine so genannte quadratische Form folgende Differenziationsvorschriften gelten:
Eine Matrix, deren Elemente Differenzialoperatoren sind, ist ein Matrixdifferenzialoperator. Dieser wird auf eine andere Matrix angewendet, indem formal nach den Regeln der Matrizenmultiplikation vorgegangen wird, wobei die Multiplikationen durch die entsprechenden Differenziationsoperationen ersetzt werden, z. B.:
