Definition:
Zu jeder SYMMETRISCHEN Matrix A gehört eine so genannte "quadratische Form"
mit einem (beliebigen) Spaltenvektor x und dem dazu transponierten Vektor xT. Unter der Voraussetzung, dass Q(x) für keinen (beliebigen!) Vektor x negativ wird und Q(x) = 0 nur für den Nullvektor x = o gilt, nennt man die Matrix A "positiv definit". Solche Matrizen sind immer auch regulär.
Die vorstehend angegebene Definition der "positiven Definitheit" mag abstrakt klingen, hat aber in der Physik (und besonders in der Technischen Mechanik) eine wichtige praktische Bedeutung. Die kinetische Energie eines Massensystems (A enthält Massen und Massenträgheitsmomente, x die Geschwindigkeiten bzw. Winkelgeschwindigkeiten) oder die Formänderungsenergie, die in einem elastischen System gespeichert ist (A ist dann die so genannte "Steifigkeitsmatrix") können z. B. als "quadratische Formen" formuliert werden. Da solche Energieausdrücke niemals negativ sein können, erfüllen die Matrizen, mit denen sie formuliert werden, immer die Bedingung der "positiven Definitheit".
Das wichtigste praktische Beispiel sind die Matrizen, mit denen die (meist außerordentlich großen) Gleichungssysteme der Finite-Elemente-Methode formuliert werden.
Viel wichtiger aber ist der Umkehrschluss: Wenn z. B. in einem linearen Gleichungssystem
mit dem ein elastostatisches Finite-Elemente-Modell beschrieben wird, die Matrix A nicht positiv definit ist, dann beschreibt diese Matrix kein sinnvolles mechanisches Modell. Deshalb wird in Finite-Elemente-Programmen die Definitheit immer überprüft, gegebenenfalls wird die Rechnung mit dem Hinweis "Koeffizientenmatrix ist nicht positiv definit" abgebrochen.
Noch wichtiger ist es natürlich, die Ursachen dafür zu finden und zu beseitigen. Fast immer ist eine der beiden folgenden Ursachen der Grund für diesen Fehler:
- Das System ist nicht ausreichend gelagert oder innerlich nicht tragfähig. Im Allgemeinen kann ein solches System sich "als starrer Körper bewegen" (vgl. hierzu die Beispiele aus der Statik).
- Es gibt Teile des Systems, denen keine Steifigkeitsparameter zugeordnet wurden (z. B. Elastizitätsmodul, Querschnittsflächen, Flächenträgheitsmomente, ...).
Alle Aussagen gelten sinngemäß auch für Eigenschwingungsprobleme oder Stabilitätsprobleme, deren mathematisches Modell ein Matrizeneigenwertproblem mit symmetrischen Matrizen ist.
Prüfen auf Definitheit
 Matrix A ist positiv definit |
Das Überprüfen der Definitheit einer Matrix ist aufwendig (dass z. B. die links zu sehende Matrix A positiv definit ist, die rechts zu sehende Matrix B dagegen nicht, sieht man den Matrizen nicht an). Deshalb wird folgender Weg gewählt: Für die Lösung des Gleichungssystems wird ein Verfahren benutzt, das nur für positiv definite Matrizen funktioniert, so dass die Überprüfung auf Definitheit gewissermaßen "nebenbei erledigt" wird. |  Matrix B ist nicht positiv definit |
Besonders beliebt ist das
Verfahren von Cholesky,
bei dem im ersten Schritt
die Matrix A entsprechend
in das Produkt einer Rechtsdreiecksmatrix und ihrer Transponierten
zerlegt wird. Dies ist nur möglich, wenn A positiv definit ist. Die oben
links zu sehende Matrix A lässt sich nach Cholesky zerlegen. Rechts sieht man
das
Falksche Schema
Beispiel für Matrixmultiplikation
("Rückmultiplikation"
RT R)
der fast komplett zerlegten Matrix A, und man erkennt,
wie die Cholesky-Zerlegung funktioniert: Das Element
a11 muss bei der Rückmultiplikation
den Wert 9 annehmen, was nur möglich ist, wenn
r11·r11 = 9 ist,
also r11 = 3. Mit dem bekannten
Wert lassen sich aus entsprechenden Überlegungen alle Elemente der
ersten Zeile von R berechnen. Mit den
bekannten Elementen der ersten Zeile von R
(damit sind auch die Elemente der ersten Spalte von
RT bekannt) können dann
alle Elemente der
zweiten Zeile von R berechnet werden usw.
Schließlich muss in dem abgebildeten Schema noch r44 aus dem Skalarprodukt der letzten Zeile von RT und der letzten Spalte von R berechnet werden:
und diese Gleichung ist nur für r44 = 2 erfüllt. Die Cholesky-Zerlegung ist komplett: Matrix A ist positiv definit.
Man überblickt leicht, was beim Versuch der Cholesky-Zerlegung der Matrix B passiert, die sich nur durch dem Element b44 = 60 von der Matrix A unterscheidet. Die Rechnung würde zunächst identisch mit der Zerlegung von A ablaufen, für die Berechnung von r44 müsste aber gefordert werden:
und diese Gleichung ist für keinen reellen Wert r44 erfüllbar.
Wenn die Cholesky-Zerlegung einer symmetrischen Matrix A entsprechend A = RT R nicht im Bereich der reellen Zahlen möglich ist, dann ist A nicht positiv definit. Dieser Test auf Definitheit ist in der Regel auch deshalb recht aufwendig, weil er häufig erst "im letzten Moment" scheitert (Beispiel oben), allerdings natürlich auch erst "im letzten Moment" als erfolgreich erkannt werden darf.
